Pierścień zbiorów

Pierścień zbiorów – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną, tzn. jeżeli dla dowolnego $A,B\in ℛ$ zachodzi

• $A\cap B\in ℛ,$
• $A\mathrm{△}B\in ℛ,$

gdzie $\mathrm{△}$ oznacza różnicę symetryczną, tj.

$A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$

Równoważnie można wymagać, aby z każdymi dwoma zbiorami $A,B$ należącymi do pierścienia należały także do niego zbiory $A\cup B$ oraz $A\setminus B.$

Własności

Pierścień zbiorów jest pierścieniem w algebraicznym tego słowa znaczeniu (możliwe, że bez jedynki). Przekrój jest rozdzielny względem różnicy symetrycznej:

$A\cap (B\mathrm{△}C)=(A\cap B)\mathrm{△}(A\cap C)$

Zbiór pusty jest elementem neutralnym $\mathrm{△},$ a suma wszystkich zbiorów, o ile należy do pierścienia, jest elementem neutralnym $\cap ,$ co czyni z $ℛ$ pierścień z jedynką.

Dla danego zbioru $X$ jego zbiór potęgowy tworzy dyskretny pierścień zbiorów, zaś zbiór $\{\varnothing ,X\}$ określa antydyskretny pierścień zbiorów. Dowolne ciało zbiorów, a zatem dowolna σ-algebra jest również pierścieniem zbiorów.

Zobacz też

• σ-pierścień