Pierwsznia

W matematyce, pierwsznia jest, stosowaną głównie w teorii liczb, funkcją $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. Wartość pierwszni dla liczby naturalnej $n$ jest oznaczana $n\mathrm{\#}$.

Nazwa „pierwsznia” (ang. primorial), ukuta przez Harveya Dubnera, nawiązuje do liczb pierwszych w podobny sposób, w jaki funkcja silnia (ang. factorial) odnosi się do iloczynu liczb naturalnych, które można rozkładać na czynniki pierwsze, dokonując faktoryzacji, otrzymując w efekcie ich zapis, w postaci iloczynu konkretnych liczb pierwszych, tworzących daną liczbę złożoną.

Definicja

Dokładniej, pierwsznia liczby naturalnej $n⩾2$ jest równa

$n\mathrm{\#}=\prod _{i=1}^{\pi (n)}{p}_i=p_{\pi (n)}\mathrm{\#},$

gdzie $\pi (n)$ to funkcja licząca liczby pierwsze, a $p_i$ to $i$-ta liczba pierwsza. Innymi słowy, pierwsznia liczby $n⩾2$ jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych nie większych niż $n$. Dodatkowo, przyjmuje się, że $0\mathrm{\#}=1\mathrm{\#}=1$. Podobnie jak 0! = 1 — na mocy definicji.

Zobacz też

• Silnia