Płaskie zginanie pręta

Błąd przy generowaniu miniatury:

Zginanie pręta

Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym pręt prosty w stanie niezdeformowanym, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę jego osi).

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:

• czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
• proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
• ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą, ale nie muszą wystąpić.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta

Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.

Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:

${ϵ}_x=\pm \frac{z}{\rho },$

gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.

Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:

${\sigma }_x=\pm E\frac{z}{\rho }.$

Obliczając siłę podłużną w przekroju

$N=\underset{A}{\int }{\sigma }_{x}dA=\pm E\underset{A}{\int }\frac{z}{\rho }dA=\pm \frac{E}{\rho }\underset{A}{\int }zdA=\pm \frac{E}{\rho }{S}_x$

oraz moment zginający

$M=\underset{A}{\int }z{\sigma }_{x}dA=\pm E\underset{A}{\int }\frac{z^2}{\rho }dA=\pm \frac{E}{\rho }\underset{A}{\int }{z}^{2}dA=\pm \frac{E}{\rho }{J}_x,$

gdzie $J_x$ jest momentem bezwładności względem osi $x$ pręta.

Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to $S_x=0$ oraz $N=0$ (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie

$\frac{E{J}_x}{\rho (x)}=\pm M(x).$

Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju

${\sigma }_x(z)=\pm \frac{z\cdot M}{J_x}.$

Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:

$\frac{1}{\rho }\approx \pm w^{″}(x),$

otrzymując równanie różniczkowe:

$E{J}_x{w}^{″}(x)=\pm M(x),$

gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.

Jeśli $M(x)=const$ to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.

Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:

$E{J}_x{w}^{IV}=-q(x).$

Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla $z_{max}$ i wynosi:

${\sigma }_{max}=\frac{M_x}{W_x},$

gdzie:

${\sigma }_{max}$ – maksymalne naprężenie normalne,

$M_x$ – moment gnący (zginający),

$W_x$ – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi $W=\frac{J_x}{z_{max}}$ i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.

Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

${\sigma }_{max}<k_g,$

gdzie:

$k_g$ – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów