Oscylator Duffinga

Plik:Duffing oscillator.webm

Przekrój Poincaré wymuszonego równania Duffinga, sugerujący chaotyczne zachowanie Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap oraz Szablon:Nowrap

Dziwny atraktor oscylatora Duffinga przez 4 okresy ($8\pi$ czasu). Kolory przedstawiają, jak płyną punkty. Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Szablon:Nowrap Animacja ma przesunięcie czasowe, więc siła wymuszająca zależy od Szablon:Nowrap zamiast Szablon:Nowrap

Oscylator Duffinga – oscylator opisany nieliniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu, stosowanym do modelowania niektórych tłumionych i wymuszonych oscylatorów. Równanie ma postać:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\delta \frac{dx}{dt}+\alpha x+\beta x^3=\gamma \cos (\omega t)$

gdzie:

$x=x(t)$ - przemieszczenie w czasie Szablon:Mvar,

$\frac{dx}{dt}$ - pierwsza pochodna $x$ względem czasu, czyli prędkość oscylatora,

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ - druga pochodna $x$ względem czasu czyli przyspieszenie oscylatora,

$\delta ,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ i $\omega$ - stałe liczby, parametry oscylatora.

Równanie opisuje ruch tłumionego oscylatora z bardziej złożonym potencjałem niż w przypadku prostego ruchu harmonicznego (co odpowiada przypadkowi $\beta =\delta =0$); fizycznie modeluje taki oscylator np. wahadło sprężynowe, którego współczynnik sprężystości sprężyny nie jest dokładnie zgodny z prawem Hooke’a. Równanie Duffinga jest przykładem układu dynamicznego wykazującego chaotyczne zachowanie. Co więcej, układ Duffinga wykazuje zjawisko rezonansu skokowego, co jest rodzajem częstotliwościowego zachowania z histerezą.

Oscylator nazwano na cześć Georga Duffinga (1861–1944).

Parametry

Parametry w powyższym równaniu to:

• $\delta$ kontroluje poziom tłumienia,
• $\alpha$ kontroluje liniową sztywność,
• $\beta$ kontroluje poziom nieliniowości siły przywracającej; jeśli $\beta =0,$ równanie Duffinga opisuje tłumiony i wymuszony prosty oscylator harmoniczny,
• $\gamma$ to amplituda okresowej siły wymuszającej drgania; jeśli $\gamma =0$ układ nie ma siły wymuszającej,
• $\omega$ to częstotliwość kątowa okresowej siły wymuszającej.

Równanie Duffinga można interpretować jako opis oscylacji masy przymocowanej do sprężyny nieliniowej (tj. nie spełniającej prawa Hooke'a) i liniowego tłumika. Siła przywracająca zapewniana przez nieliniową sprężynę to $\alpha x+\beta x^3.$

Gdy $\alpha >0$ i $\beta >0$, to sprężyna jest nazywana „utwardzającą się sprężyną”. Odwrotnie, dla $\beta <0$ (i nadal $\alpha >0$) jest to „mięknącą sprężyną”. W związku z tym przymiotniki „utwardzający” i „mięknący” są używane w odniesieniu do oscylatora Duffinga w zależności od wartości $\beta$ (i $\alpha$).

Zobacz też

• oscylator anharmoniczny
• oscylator harmoniczny
• oscylator harmoniczny kwantowy
• drgania nieliniowe
• wahadło proste jako oscylator nieliniowy

Linki zewnętrzne

• Duffing oscillator on Scholarpedia
• MathWorld page