Opis typu wejście-wyjście

Szablon:Dopracować Opis typu wejście-wyjście – w teorii sterowania, opis układu typu „czarna skrzynka” przedstawiający wprost zależność wyjścia układu regulacji od jego wejścia z pominięciem wewnętrznego stanu układu (w opisie takim nie występują więc w sposób jawny zmienne opisujące stan układu).

Do zasadniczych typów takiego opisu należy (dla ciągłych układów liniowych) równanie różniczkowe o stałych współczynnikach:

$a_n\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\dots +a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_m\frac{d^{m}u}{d{t}^m}+\dots +b_1\frac{du}{dt}+b_{0}u,$

gdzie $n$ jest rzędem układu (względem $y$) i musi być $m⩽n$ jeśli układ ma być realizowalny fizycznie (zob. też transmitancja właściwa), $u$ jest zmienną wejściową, a $y$ jest zmienną wyjściową. Przyjęcie w powyższym równaniu $a_n=1$ (to znaczy podzielenie wszystkich współczynników przez $a_n$) nie powoduje utraty ogólności modelu.

Opis typu wejście-wyjście w postaci równania różniczkowego nie należy do najwygodniejszych, dlatego stosuje się często inne typy takiego opisu, które można wyprowadzić z równania różniczkowego:

• transmitancję operatorową,
• całkę splotową.

Powyższe opisy można otrzymać podając wymuszenie na wejście układu i obserwując odpowiedź układu, dlatego równoważnym modelem wejścia-wyjścia (opisem zawierającym informację o danym układzie) są w przypadku dziedziny czasu: charakterystyki czasowe, a w przypadku dziedziny częstotliwości – charakterystyki częstotliwościowe.

Model typu wejście-wyjście stosowany jest najczęściej tam gdzie projektant nie posiada wiedzy o wewnętrznym, fizycznym funkcjonowaniu opisywanego obiektu – na przykład dysponuje jedynie pomiarami jakie zebrał na wejściu i wyjściu systemu (podając wymuszenie i obserwując odpowiedź układu). Opis typu wejście-wyjście ma swoje ograniczenia: nie pozwala na uzyskanie odpowiedzi na pytanie jak przebiegają procesy wewnątrz układu; w praktyce stosowany jest głównie do opisu układów liniowych, podczas gdy model układu w postaci równań stanu przeznaczony jest do opisu zarówno układów liniowych, jak i nieliniowych. Jeśli więc projektant posiada wiedzę o wewnętrznym działaniu układu wskazane jest konstruowanie modelu układu w postaci równań stanu, które jawnie ujmują wewnętrzne zmienne stanu.

Podanemu wyżej równaniu różniczkowemu rzędu $n$ równoważny jest układ $n$ równań różniczkowych rzędu pierwszego. Aby dokonać odpowiedniego sprowadzenia trzeba jednak zdefiniować (nowe) zmienne stanu. Przy tym należy również zwrócić uwagę, że o ile opis typu wejście-wyjście jest jednoznaczny dla danego układu to opis z wykorzystaniem równań stanu już nie jest. Ponadto dla układów, których działanie jest zakłócane sygnałami losowymi stosuje się szerszą klasę modeli układów dynamicznych, do której zaliczyć można:

• model AR,
• model ARMA,
• model ARMAX.

Zobacz też

• model MA
• wymuszenie-odpowiedź