Całka splotowa

Całka splotowa – obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu).

Wstęp

Opis układu sterowania całką splotową wynika z właściwości przekształcenia Laplace’a. Tak zwany iloczyn splotowy, czyli całka splotowa

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(\tau )g(t-\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(\tau )u(t-\tau )d\tau$

jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat:

$U(s)G(s)=Y(s)$

Zmienna $\tau$ jest zmienną całkowania. Podobnie jak w przypadku opisu w wykorzystaniem transmitancji wymagane jest przeprowadzenie pewnej operacji nad funkcją $g(t),$ która charakteryzuje układ i funkcją $u(t),$ która reprezentuje wymuszenie; operacja ta ma miejsce całkowicie w dziedzinie czasu.

W praktyce całkę splotową oblicza się w granicach skończonych, gdyż wymuszenie $u(t)$ ma sens tylko dla $t⩾0,$ zaś przy $u(t)=0$ dla $t<0$ także charakterystyka impulsowa $g(t)$ jest równa $0$ dla $t<0,$ jeśli system jest przyczynowy (tzn. nie wykazuje reakcji nim nie nastąpi jego pobudzenie).

Tak więc $u(\tau )=0$ dla $\tau <0$ oraz $g(t-\tau )=0$ dla $\tau >t,$ a stąd praktyczne granice całkowania:

$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}u(\tau )g(t-\tau )d\tau =\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(\tau )u(t-\tau )d\tau .$

Zestawienie opisów układu w różnych przypadkach

Istnieją ogólne zewnętrzne opisy układów regulacji. W przypadkach układów niestacjonarnych opis jest znany jako opis za pomocą splotu. Niech: $y$ będzie wyjściem układu, $h$ – odpowiedzią układu, $x$ – wejściem układu, wówczas:

Opis ogólny
układ stacjonarny, nieprzyczynowy	$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t-r)x(r)dr$
układ stacjonarny, przyczynowy	$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}h(t-r)x(r)dr$
układ niestacjonarny, nieprzyczynowy	$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}h(t,r)x(r)dr$
układ niestacjonarny, przyczynowy	$y(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}h(t,r)x(r)dr$

Uogólnienie na układy wielowymiarowe

Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których $t_0=𝐂,$ a równanie wyjścia dane jest następująco: $𝐲(t)=𝐂𝐱(t)$ odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

${𝐲}_{\delta }(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}𝐊(t-\tau )𝐮(\tau )d\tau ,$

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych

$𝐊(t)=𝐂e^{𝐀t}𝐁.$

Powyższy wzór na wymuszenie układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany jako:

$𝐲=𝐊𝐮.$

Zobacz też

• splot (analiza matematyczna)