Odwrotna interpolacja kwadratowa

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W analizie numerycznej, odwrotna interpolacja kwadratowa – metodą znajdowania pierwiastków, to znaczy jest algorytmem rozwiązywania równań postaci f(x)=0. Pomysłem jest użycie interpolacji kwadratowej do aproksymacji funkcji odwrotnej do f. Ten algorytm jest rzadko używany samodzielnie, ale jest ważny ponieważ stanowi część popularnej metody Brenta.

Metoda

Algorytm odwrotnej interpolacji kwadratowej jest definiowany przez równanie rekurencyjne

xn+1=fn−1fn(fn−2−fn−1)(fn−2−fn)xn−2+fn−2fn(fn−1−fn−2)(fn−1−fn)xn−1+fn−2fn−1(fn−fn−2)(fn−fn−1)xn,

gdzie fk=f(xk). Jak można zauważyć z zależności rekurencyjnej, ta metoda wymaga trzech początkowych wartości: x0, x1 i x2.

Opis metody

Używamy trzech poprzedzających iteracji xn−2, xn−1 i xn z ich trzema wartościami funkcji fn−2, fn−1 i fn. Stosując wzór interpolacji Lagrange’a do kwadratowej interpolacji odwrotności f, otrzymamy

f−1(y)=(y−fn−1)(y−fn)(fn−2−fn−1)(fn−2−fn)xn−2+(y−fn−2)(y−fn)(fn−1−fn−2)(fn−1−fn)xn−1+(y−fn−2)(y−fn−1)(fn−fn−2)(fn−fn−1)xn.

Patrzymy na pierwiastek f, podstawiając y=f(x)=0 w powyższym równaniu i jego rezultatach w powyższej formule rekurencyjnej.

Zachowanie

Asymptotyczne zachowanie jest bardzo dobre: ogólnie, iteracje xn zbiegają szybko do pierwiastka gdy się do niego zbliżymy. Jakkolwiek wydajność jest często całkiem zła jeśli nie wystartujemy blisko rzeczywistego pierwiastka. Na przykład jeśli przez przypadek dwie z wartości funkcji fn−2, fn−1 i fn pokrywają się, algorytm zawodzi całkowicie. Zatem odwrotna interpolacja kwadratowa jest rzadko używana jako algorytm samodzielny.

Rząd zbieżności jest około 1,8 jak można udowodnić przez analizę metody siecznych.

Porównanie z innymi metodami znajdowania pierwiastków

Jak wspomniano na wstępie, odwrotna interpolacja kwadratowa jest stosowana w metodzie Brenta.

Odwrotna interpolacja kwadratowa jest również blisko związana z innymi metodami szukania pierwiastków. Używając interpolacji liniowej zamiast kwadratowej, dostajemy metodę siecznych. Interpolując f zamiast odwrotności f, dostajemy metodę Mullera.

Linki zewnętrzne

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Odwrotna_interpolacja_kwadratowa&oldid=7540”