Odległość punktu od prostej

Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Płaszczyzna kartezjańska

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne $(x_P,y_P),$ a prosta k dana jest równaniem ogólnym $Ax+By+C=0,$ to odległość $d(P,k)$ punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:

$d(P,k)=\frac{|A{x}_P+B{y}_P+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{n},$

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

$\Vert (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})-((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}\Vert .$

Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$ jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n}$ jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

$((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

jest wektorem – rzutem wektora $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$ na prostą. Stąd wektor

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})-((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$

jest składową wektora $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}$ prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-17].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-04-17].