Miara Hausdorffa

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu $[0,\mathrm{\infty }]$ do każdego zbioru w przestrzeni ${ℝ}^n$ lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub $\mathrm{\infty }$ jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w ${ℝ}^n$ jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w ${ℝ}^2$ jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją $d$-wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego $d⩾0,$ które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalna

Niech $(X,\rho )$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $U\subset X,$ niech $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}U$ oznacza jego średnicę, to jest

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}U:=\sup \{\rho (x,y)|x,y\in U\},\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{\varnothing }:=0.$

Niech $S$ będzie dowolnym podzbiorem $X,$ a $\delta >0$ liczbą rzeczywistą. Definiuje się

$H_{\delta }^d(S)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{diam}{U}_i{)}^d:\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_i\supseteq S,\mathrm{diam}{U}_i<\delta \}.$

Należy zauważyć, że $H_{\delta }^d(S)$ zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem $\delta ,$ gdyż im większe jest $\delta ,$ tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica $\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^d(S)$ istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

$H^d(S):=\underset{\delta >0}{\sup }{H}_{\delta }^d(S)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^d(S).$

Można zauważyć, że $H^d(S)$ jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją $d$-wymiarową miarą Hausdorffa z $S.$

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia $H_{\delta }^d(S)$ mogą się różnić.

Własności

Jeśli $d$ jest dodatnią liczbą całkowitą, $d$ wymiarowa miara Hausdorffa w ${ℝ}^d$ jest przeskalowaną typową $d$-wymiarową miarą Lebesgue’a ${\lambda }_d,$ która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej $[0,1{]}^d$ wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego $E$

${\lambda }_d(E)=2^{-d}{\alpha }_d{H}^d(E),$

gdzie ${\alpha }_d$ to objętość hiperkuli jednostkowej

${\alpha }_d=\frac{{\pi }^{d/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{d}{2}+1)}.$

Powyższy wzór upraszcza się do

${\lambda }_d(E)={\beta }_d{H}^d(E),$

gdzie ${\beta }_d$ jest objętością hiperkuli o jednostkowej średnicy.

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru $d$ przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

${\dim }_{\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}}(S)=\inf \{d⩾0:H^d(S)=0\}=\sup (\{d⩾0:H^d(S)=\mathrm{\infty }\}\cup \{0\}),$

gdzie przyjmuje się

$\inf \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\infty }.$

Zobacz też

• miara

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo