Metoda ruchomego reperu

Metoda ruchomego reperu – metoda lokalnego badania podrozmaitości różnych przestrzeni jednorodnych polegająca na związaniu samej podrozmaitości i jej obiektów geometrycznych z jak najogólniej pojętym reperem. Zawiera w sobie proces kanonizacji repera polegający na jednoznacznym dodaniu do każdego punktu podrozmaitości repera w celu otrzymania niezmienników różniczkowych charakteryzujących podrozmaitość z dokładnością do przekształceń zawierającej ją przestrzeni jednorodnej.

W najogólniejszej postaci metodę ruchomego reperu wprowadził Elie Cartan, który podał także wiele jej zastosowań. W geometrii współczesnej metoda ta wymagała uściślenia i zostało to wykonane w ramach teorii wiązek włóknistych.

Metoda ruchomego reperu w teorii wiązek włóknistych

Analityczną podstawę metody ruchomego reperu stanowią niezmiennicze liniowe formy różniczkowe grup Lie i ich równania strukturalne oraz teoria reprezentacji grup Lie (jako grup przekształceń).

Niech ${𝒳}_n$ będzie n-wymiarową przestrzenią jednorodną i $𝒢$ niech będzie działającą z lewej strony r-wymiarową grupą Lie odwzorowań tej przestrzeni. Niech ${𝒳}_n=𝒢/\mathscr{H},$ gdzie $\mathscr{H}$ jest grupą izotopii pewnego punktu $x_0\in {𝒳}_n.$ Niech $(e_k,e_{\alpha }),k=1,2,\dots ,n,\alpha =n+1,\dots ,r$ będzie taką bazą lewoniezmienniczych pól wektorowych na $𝒢,$ że $e_{\alpha }$ stanowią na podgrupie Lie $\mathscr{H}$ bazę lewoniezmienniczych pól wektorowych. Bazie $(e_k,e_{\alpha })$ odpowiada baza lewoniezmienniczych liniowych form różniczkowych $({\omega }^k,{\omega }^{\alpha })$ na grupie Lie $𝒢.$ Kanoniczne rzutowanie $\pi :𝒢\to {𝒳}_n,$ w którym każdemu punktowi $x_0\in {𝒳}_n$ odpowiadają lewe warstwy ${\pi }^{-1}(x)={\mathscr{H}}_x\subset 𝒢$ względem podgrupy $\mathscr{H}={\mathscr{H}}_{x_0}$ wprowadza do grupy $𝒢$ strukturę wiązki włóknistej z bazą ${𝒳}_n$ i grupą strukturalną $\mathscr{H}$ o wymiarze $r-n.$ Pola wektorowe $e_{\alpha }$ stanowią bazę fundamentalnych pól wektorowych wiązki $\pi :𝒢\to {𝒳}_n,$ a liniowe formy różniczkowe ${\omega }^k$ są jej formami półbazowymi i tworzą całkowalny podukład form w układzie $({\omega }^k,{\omega }^{\alpha }).$ Warstwy ${\mathscr{H}}_x\subset 𝒢$ są rozmaitościami całkowymi maksymalnego wymiaru dla układu równań Pfaffa ${\omega }^k=0$.

Zobacz też

• reper