Równanie Pfaffa

Równanie Pfaffa – typ równania różniczkowego cząstkowego o $2n+1$ zmiennych, rozważanego w geometrii różniczkowej. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Johanna Pfaffa.

Równanie Pfaffa

Niech $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem ${ℝ}^{2n+1}$ oraz $f:D\to ℝ$ będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną w całym zbiorze $D.$ Rozwiązaniem (albo powierzchnią całkową równania) w zbiorze $U\subset {ℝ}^n$ równania

$f(x_1,\dots ,x_n,z,\frac{\partial z}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_n})=0$

nazywa się każdą taką funkcję $U\ni x\mapsto \zeta (x),$ że

$f(x,\zeta (x),\frac{\partial \zeta }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \zeta }{\partial x_n})\equiv 0$ dla $x\in U.$

Równaniem Pfaffa w przestrzeni ${ℝ}^{2n+1}$ zmiennych $x_1,\dots ,x_n,z,p_1,\dots ,p_n,$ nazywa się równanie różniczkowe cząstkowe

$dz-\sum _{i=1}^n{p}_{i}d{x}_i=0.$

Rozwiązania równania Pfaffa można interpretować jako $n$-wymiarowe powierzchnie w ${ℝ}^{2n+1},$ spełniające warunek

$f(x,z,p)=0,$

przy czym $x=(x_1,\dots ,x_n),p=(p_1,\dots ,p_n).$

Zobacz też

• forma Pfaffa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę