Metoda Cranka-Nicolson

Metoda Cranka-Nicolson – popularna metoda uwikłana rozwiązywania znanych w fizyce i inżynierii równań różniczkowych cząstkowych metodą różnic skończonych.

Weźmy dla przykładu jednowymiarowe równanie dyfuzji:

$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

Przybliżając w nim pochodne za pomocą ilorazów różnicowych na jednorodnej siatce punktów możemy je zapisać jako

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$

lub

$u_i^{n+1}=u_i^n+\mathrm{\Delta }t\frac{D}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n),$

gdzie dolny indeks $i$ oznacza punkt na siatce a górny $n$ chwilę dyskretnego czasu. Używanie ostatniego intuicyjnego wzoru akumuluje jednak niestabilności.

Metoda Cranka-Nicolson polega na użyciu po prawej stronie średniej arytmetycznej z wyrażeń w czasie obecnym i w czasie następnym w celu stabilizacji rozwiązania tak aby równanie to stało się układem równań liniowych na wielkość w czasie następnym $u_i^{n+1},$ tzn.

$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D}{2(\mathrm{\Delta }x{)}^2}((u_{i+1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i-1}^{n+1})+(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)),$

czyli było w postaci uwikłanej.

Metoda Cranka-Nicolson zastosowana do równania Schrödingera na siatce punktów równoważna jest metodzie Cayleya.