Macierz wymierna

Macierz wymierna – macierz o wymiarach $m\times n,$ której elementami są funkcje wymierne $w_{ij}(s)$ zmiennej $s$ o współczynnikach z ciała $F,$ o postaci

$W(S)=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{11}(s)& w_{12}(s)& \dots & w_{1n}(s)\\ w_{21}(s)& w_{22}(s)& \dots & w_{2n}(s)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ w_{11}(s)& w_{11}(s)& \dots & w_{11}(s)\end{array}\right].$

Zbiór macierzy wymiernych o wymiarach $m\times n$ zmiennej $s$ i współczynnikach z ciała $F$ zazwyczaj oznaczany jest przez $F^{m\times n}(s).$ Ciałem $F$ może był ciało liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, liczb wymiernych lub ciało funkcji wymiernych zmiennej $z$ itp.

Po sprowadzeniu wszystkich elementów $w_{ij}(s)$ macierzy wymiernej do wspólnego mianownika $m(s)$ o współczynniku równym 1 przy $s$ w najwyższej potędze, powyższą macierz można przedstawić w postaci

$W(s)=\frac{L(s)}{m(s)},$

gdzie:

$L(s)\in F^{m\times n}(s)$ – macierz wielomianowa o współczynnikach z ciała $F,$

$m(s)$ – wielomian.

Macierz wymierna nieredukowalna

Niech $m(s)=(s-s_1{)}^{n_1}(s-s_2{)}^{n_2}\dots (s-s_p{)}^{n_p},\sum _{i=1}^p{n}_i=\bar{n}.$ Macierz nazwiemy nieredukowalną (nieskracalną) wtedy i tylko wtedy, gdy

$L(s_k)\ne 0_{mn},k=1,\dots ,p,$

gdzie $0_{mn}$ jest macierzą zerową o wymiarach $m\times n.$

Jeżeli $L(s_k=0_{mn},$ to wszystkie elementy macierzy $L(s)$ są podzielne przez $(s-s_k)$ i wówczas macierz jest redukowalna przez $(s-s_k).$ Nieredukowalną macierz w takiej postaci nazywamy macierzą w postaci standardowej. Pisząc macierz wielomianową $L(s)$ w postaci wielomianu macierzowego

$L(s)=L_q{s}_q+L_{q-1}{s}_{q-1}+\dots L_{1}s+L_0,$

możemy macierz $W(s)$ zapisać w postaci

$W(s)=\frac{L_q{s}_q+L_{q-1}{s}_{q-1}+\dots L_{1}s+L_0}{m(s)}.$

Przykład

Dla macierzy wymiernej

$W(s)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{s}{s-1}& \frac{1}{s+2}& s\\ \frac{2}{s+2}& \frac{s+2}{s+1}& 2s\end{array}\right]$

najmniejszym wspólnym mianownikiem jest $m(s)=(s+1)(s+2),$ z pierwiastkami: $s_1=-1$ oraz $s_2=-2.$ Wtedy $W(s)$ możemy zapisać jako

$W(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\left[\begin{array}{ccc}s(s+2)& s+1& s(s+1)(s+2)\\ 2(s+1)& (s+2{)}^2& 2s(s+1)(s+2)\end{array}\right]=\frac{L(s)}{m(s)}.$

Macierz ta jest nieredukowalna, gdyż

$L(s_1)=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right],L(s_2)=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -2& 0& 0\end{array}\right].$

Wtedy postać $L(s)$ przyjmuje formę

$L(s)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]s^3+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 6\end{array}\right]s^2+\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 2& 4& 4\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 4& 0\end{array}\right].$

Wobec tego macierz rozważana w przykładzie w postaci $W(s)=\frac{L(s)}{m(s)}$ jest równa

$W(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}(\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]s^3+\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 6\end{array}\right]s^2+\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 2& 4& 4\end{array}\right]s+\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 4& 0\end{array}\right]).$

Macierz wymierna właściwa

Macierz wymierna jest właściwa (lub przyczynowa) wtedy i tylko wtedy, gdy $stm(s)⩾stL(s)$ oraz ściśle właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy $stm(s)>stL(s).$

Zobacz też

• macierz
• spis macierzy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę