Macierz podstawowa

Szablon:Dopracować Macierz podstawowa $\phi (t)=e^{At}$ ma następujące własności:

$\frac{d\phi (t)}{dt}=A\phi (t),$

$\phi (0)=I,$

gdzie $I$ to macierz jednostkowa.

Macierz podstawową wykorzystuje się do rozwiązywania liniowych układów różniczkowych. Jest kilka metod wyznaczania macierzy podstawowej układu, m.in.:

• metoda wzoru Sylvestra,
• metoda odwrotnego przekształcenia Laplace’a,
• metoda diagonalizacji macierzy (wektorów własnych).

Wyznaczenie macierzy podstawowej $\phi (t)=e^{At}$ metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a, polega na rozwiązaniu równania:

$e^{At}={ℒ}^{-1}([sI-A{]}^{-1}),$

gdzie:

${ℒ}^{-1}$ – odwrotna transformata Laplace’a,

$I$ – macierz jednostkowa,

$A$ – macierz/parametr z równania różniczkowego o postaci $\frac{dx(t)}{dt}=Ax(t).$

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• macierz przejścia (automatyka)