Macierz nilpotentna

Szablon:Dopracować Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Przykład

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],$

bowiem kolejne potęgi tej macierzy $N^2,N^3,N^4$ są równe:

$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Własności

• Jeśli $A$ jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna $k$ taka, że $A^k=\mathrm{\Theta },$ nie przekracza stopnia $A.$
• Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej $A$ jest postaci $F_A(\lambda )={\lambda }^n,$ stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
• Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
• Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
• każda wielokrotność $k\cdot A$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna. Każda potęga $A^k$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna.

Postać Jordana

Niech $N_k$ będzie macierzą kwadratową stopnia $k$ postaci:

$N_k=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności $N_1=\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right],N_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

$\left[\begin{array}{cccc}{N}_{k_1}& 0& \dots & 0\\ 0& N_{k_2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & N_{k_r}\end{array}\right]$

dla pewnych $k_1,k_2,\dots ,k_r.$

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała.

Zobacz też

• macierz idempotentna
• mnożenie macierzy
• nilpotentność

Uwagi

Szablon:Macierz Szablon:Przekształcenia liniowe