Liniowa nierówność macierzowa

Szablon:Dopracować Liniowa nierówność macierzowa (ang. linear matrix inequality, LMI) – termin stosowany w teorii sterowania i optymalizacji.

Definicja

W optymalizacji wypukłej liniowa nierówność macierzowa dana jest następującym wyrażeniem:

$\mathrm{LMI}(y):=A_0+y_1{A}_1+y_2{A}_2+\dots +y_m{A}_m⩾0,$

gdzie:

• $y=[y_i,i=1,\dots ,m]$ jest wektorem liczb rzeczywistych,
• $A_0,A_1,A_2,\dots ,A_m$ o wymiarach $n\times n$ są macierzami symetrycznymi ${𝕊}^n,$
• $B⩾0$ to uogólniona nierówność, która oznacza, że $B$ jest macierzą półokreśloną dodatnio należącą do stożka półokreślonego dodatnio ${𝕊}_{+}$ w podprzestrzeni macierzy symetrycznych $𝕊.$

Liniowa nierówność macierzowa określa ograniczenia wypukłe na $y.$

Zastosowania

Istnieją efektywne metody numeryczne pozwalające na określenie czy liniowa nierówność macierzowa jest dopuszczalna (to znaczy czy istnieje taki wektor $y,$ że $LMI(y)⩾0$) albo dające rozwiązanie problemu optymalizacji wypukłej z ograniczeniami dla liniowej nierówności macierzowej.

Wiele problemów optymalizacji w teorii sterowania, identyfikacji układów i przetwarzaniu sygnałów można sformułować z wykorzystaniem liniowej nierówności macierzowej. Nierówności te znajdują również zastosowanie w wielomianach będących sumą kwadratów. Prototypiczne prymalne i dualne programowanie półokreślone stanowi minimalizację rzeczywistej funkcji liniowej podlegającą odpowiednio prymalnemu i dualnemu stożkowi wypukłemu, który określa te nierównościami.

Rozwiązywanie liniowych nierówności macierzowych

Największe osiągnięcia optymalizacji wypukłej związane są z wprowadzeniem metod punktu wewnętrznego. Metody te, rozwinięte w szeregu publikacji, stały się przedmiotem zainteresowania w kontekście problemów LMI.