Liczba obrotu homeomorfizmu okręgu

Szablon:Nie mylić z Liczba obrotu homeomorfizmu okręgu – niezmiennik homeomorfizmów okręgu; liczba charakteryzująca asymptotyczne zachowanie iteracji homeomorficznego odwzorowania okręgu w siebie. Pojęcie to odgrywa ważną rolę w teorii układów dynamicznych.

Definicja

Niech $f$ będzie zachowującym orientację homeomorfizmem okręgu na siebie, $f:S^1\to S^1,$ gdzie $S^1=ℝ/\mathbb{Z}.$ Niech $F$ będzie podniesieniem $f$ do homeomorfizmu prostej $ℝ,$ spełniającym $F(x+m)=F(x)+m$ dla dowolnych liczb rzeczywistej $x$ i całkowitej $m.$

Liczbę obrotu odwzorowania $f$ określa się jako:

$\omega (f)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F^n(x)-x}{n},$

gdzie $F^n$ jest $n$-tą iteracją odwzorowania $F.$

Poprawność definicji, tj. istnienie i niezależność powyższej granicy od wyboru punktu $x,$ wynika z twierdzenia o istnieniu liczby obrotu.

Przykłady

• Jeśli $f$ jest obrotem okręgu o kąt $\alpha ,$ to liczba obrotu $f$ wynosi $\alpha .$
• Gdy $f$ jest dyfeomorfizmem okręgu mającym punkt stały, to liczba obrotu odwzorowania $f$ jest równa 0.

Zobacz też

• symbol Schläfliego

Linki zewnętrzne

• Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré’s Theorem, (2001).