Lematy Borela-Cantellego

Lematy Borela-Cantellego – lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech $A_1,A_2,A_3,\dots$ będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },ℱ,P).$

Pierwszy lemat Borela-Cantellego

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń $A_1,A_2,A_3,\dots$ jest zbieżny, tj.

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)<+\mathrm{\infty },$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń $A_1,A_2,A_3,\dots$ wynosi 0, tj.

$P\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)=0.$

Dowód

• Niech $A:=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n,B_n:=\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k,B_{n+1}\subseteq B_n.$
• Korzystając z własności miary:

$P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(B_n).$

• Również z własności miary otrzymujemy nierówność:

$P(B_n)=P\left(\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)⩽\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)(\star ).$

• Niech $S:=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_k),S_{n-1}:=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_k).$ Z założenia $S<\mathrm{\infty },$ więc szereg jest zbieżny.
• Zauważmy, że: $\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)=S-S_{n-1}.$
• $\left(S_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}S\right)\Rightarrow (S-S_{n-1}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0)\Rightarrow (\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0).$
• Korzystając z $(\star ),P(B_n)⩾0$ oraz twierdzenia o trzech ciągach:

$(0⩽P(B_n)⩽\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_k))\Rightarrow (P(B_n)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0).$

• Kończy to dowód, bo: $P\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)=P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(B_n)=0.$

Drugi lemat Borela-Cantellego

Jeśli zdarzenia $A_i$ są niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)=+\mathrm{\infty },$

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń $A_1,A_2,A_3,\dots$ wynosi 1, tj.

$P\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\right)=1.$

Dowód

• Niech $A:=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n,B_n:=\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k,B_{n+1}\subseteq B_n.$
• Korzystając z własności miary:

$P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(B_n).$

• Zapiszmy $B_n$ w postaci: $B_n=\bigcup _{m=n}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^m{A}_k.$
• Niech $C_{m,n}:=\bigcup _{k=n}^m{A}_k,C_{m,n}\subseteq C_{m+1,n}.$
• Korzystając ponownie z własności miary:

$P(B_n)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }P\left(\bigcup _{k=n}^m{A}_k\right).$

• Zauważmy, że $\bigcup _{k=n}^m{A}_k=\mathrm{\Omega }-\bigcap _{k=n}^m{A}_k^{\text{'}},$ gdzie $A_k^{\text{'}}=\mathrm{\Omega }-A_k$
• $P\left(\bigcup _{k=n}^m{A}_k\right)=1-P\left(\bigcap _{k=n}^m{A}_k^{\text{'}}\right)=1-\prod _{k=n}^{m}P(A_k^{\text{'}})=1-\prod _{k=n}^m(1-P(A_k)).$

Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że $\prod _{k=n}^m(1-P(A_k))\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$

• Zauważmy: $x⩾0\Rightarrow \exp [-x]⩾1-x(\star )$
• $0⩽\prod _{k=n}^m(1-P(A_k)){⩽}^{(\star )}\prod _{k=n}^m\exp [-P(A_k)]=\exp [-\sum _{k=n}^{m}P(A_k)]\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$
• Więc z twierdzenia o trzech ciągach: $\prod _{k=n}^m(1-P(A_k))\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0.$
• I ostatecznie $(P(B_n)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcup _{k=n}^m{A}_k)=1)\Rightarrow (P(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)=P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(B_n)=1).$

Wniosek

• Jeżeli zdarzenia $A_1,A_2,A_3,\dots$ są niezależne to dla zdarzenia $A:=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$ zachodzi warunek:

$P(A)=0\text{ lub }P(A)=1.$

Przykład

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech $A_k$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że $k$-ty, $k+1$ i $k+2$ rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n,\dots$ nie są niezależne, ale zdarzenia $A_1,A_4,A_7,\dots ,A_{3n+1},\dots$ są.

Każde zdarzenie $A_k$ ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz też

• prawo iterowanego logarytmu
• proces Bernoulliego

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę