Lemat Lallementa

Lemat Lallementa – twierdzenie teorii półgrup dotyczące możliwości podnoszenia elementów idempotentnych z półgrup ilorazowych danej półgrupy regularnej do wyjściowej półgrupy, opublikowane przez Gérarda Lallementa w 1966 roku^[1].

Lemat Lallementa

Niech $ρ$ będzie kongruencją na półgrupie regularnej $S .$ Niech $x ρ$ oznacza klasę abstrakcji elementu $x$ względem relacji $ρ .$ Jeżeli $a ρ$ jest elementem idempotentnym w półgrupie ilorazowej $S / ρ,$ to istnieje taki element idempotentny $e$ w $S,$ że $a ρ = e ρ .$ Ponadto, można $e$ wybrać tak, by $R_{e} ⩽ R_{a}$ oraz $L_{e} ⩽ L_{a} .$

Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.

Uogólnienie

Lemat Lallementa wynika wprost z następującego ogólniejszego stwierdzenia, w którym kongruencję $ρ$ zastępuje się przez równoważny jej homomorfizm.

Niech $ρ : S \to T$ będzie homomorfizmem półgrup oraz niech $a \in S$ będzie takim elementem, że $ρ (a)$ jest elementem idempotentnym w $T .$ Jeżeli $a^{2}$ ma uogólnioną odwrotność $x \in S,$ to element $a x a \in S$ jest idempotentny oraz $ρ (a x a) = ρ (a) .$

Dowód

Ponieważ $x$ jest odwrotnością $a^{2},$ to (a) $a a x a a = a a$ oraz (b) $x a a x = x .$ Oznacza to, na mocy (b), że

(a x a) (a x a) = a x a a x a = a (x a a x) a = a x a,

tj. $a x a$ jest elementem idempotentnym. Ponieważ $ρ (a)$ też jest elementem idempotentnym, zachodzi

ρ (a a) = ρ (a) ρ (a) = ρ (a) .

Ostatecznie, z powyższego i (a),

ρ (a x a) = ρ (a) ρ (x) ρ (a) = ρ (a a) ρ (x) ρ (a a) = ρ (a a x a a) = ρ (a a) = ρ (a) .

Przypisy

Szablon:Przypisy

↑ G. Lallement, Congruences et équivalences de Green sur un demi-groupe régulier (Kongruencje i równoważności Greena na półgrupie regularnej), C. R. Acad. Sci. Paris 262A (1966), s. 613−616.

[1] G. Lallement, Congruences et équivalences de Green sur un demi-groupe régulier (Kongruencje i równoważności Greena na półgrupie regularnej), C. R. Acad. Sci. Paris 262A (1966), s. 613−616.

[1]

Lemat Lallementa

Spis treści