Lemat Barbălata

Szablon:Spis treści Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata, które mówi, że jeżeli funkcja

$f:[a,\mathrm{\infty })\to ℝ$

jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa

$I=\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau$

istnieje i jest skończona, to

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t)=0$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Dowód

Rozumując nie wprost: niech $f(t)$ nie zbiega do $0,$ gdy $t\to \mathrm{\infty }.$ Oznacza to, że dla pewnego ${\epsilon }_0>0$ oraz wszelkich $n>0$ istnieje takie $t_n>n,$ że

$|f(t_n)|⩾{\epsilon }_0.$

Niech $\delta$ będzie liczbą odpowiadającą $\frac{{\epsilon }_0}{2}$ w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia $f.$ Oznacza to, że

$|f(t)-f(t_n)|⩽\frac{{\epsilon }_0}{2},$

o ile tylko

$|t-t_n|<\delta .$

Stąd dla wszelkich $t\in [t_n,t_n+\delta ]$ zachodzi

Szablon:Wzór

co wobec dodatniości ${\epsilon }_0$ oznacza

Szablon:Wzór

Z jednej strony więc

$\begin{array}{cc}|\underset{a}{\overset{t_n+\delta }{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau -\underset{a}{\overset{t_n}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau |& =|\underset{t_n}{\overset{t_n+\delta }{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau |\\ & \stackrel{(*)}{=}\underset{t_n}{\overset{t_n+\delta }{\int }}|f(\tau )|\mathrm{d}\tau \\ & \stackrel{(**)}{⩾}\underset{t_n}{\overset{t_n+\delta }{\int }}\frac{{\epsilon }_0}{2}\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{{\epsilon }_0}{2}\cdot \delta >0,\end{array}$

przy równość (*) wynika stąd, że funkcja $f(x)$ w przedziale $[t_n,t_n+\delta ]$ nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności Szablon:LinkWzór, osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z Szablon:LinkWzór.

Z drugiej jednak strony,

$\begin{array}{cc}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\underset{a}{\overset{t_n+\delta }{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau -\underset{a}{\overset{t_n}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau |\\ =& |\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t_n+\delta }{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau -\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{t_n}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau |\\ =& |\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau -\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau |\\ =& |I-I|=0,\end{array}$

co prowadzi do sprzecznościSzablon:Odn.

Uogólnienie

G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni $L_2([0,\mathrm{\infty })),$ których pochodna należy do $L_{\mathrm{\infty }}([0,\mathrm{\infty }))$.

Bibliografia

• B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
• H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
• V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.
• J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.