Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikator ogólny, kwantyfikator duży, kwantyfikator uniwersalny – kwantyfikator oznaczający, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

$\mathrm{\forall }x:\varphi (x)$ (odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „for all”)

oraz:

$\underset{x}{\bigwedge }\varphi (x).$

W obu przypadkach czyta się „dla każdego $x$ zachodzi $\varphi (x)$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

$\mathrm{\forall }x:(x\in 𝔸⟹\varphi (x)),$

$\underset{x}{\bigwedge }(x\in 𝔸⟹\varphi (x)),$

to używa się uproszczonej notacji:

$\mathrm{\forall }x\in 𝔸:\varphi (x),$

$\underset{x\in 𝔸}{\bigwedge }\varphi (x)$

i czyta się „dla każdego $x$ należącego do zbioru $𝔸$ zachodzi $\varphi (x)$”.

Jeżeli $X=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów $\varphi (x)$ to:

$\mathrm{\forall }x\in 𝕏:\varphi (x)\equiv \varphi (x_0)\wedge \varphi (x_1)\wedge \dots \wedge \varphi (x_n).$

Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x:\varphi (x)\equiv \mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }\varphi (x),$

$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x:\varphi (x)\equiv \mathrm{\forall }x:\mathrm{\neg }\varphi (x).$

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego $x$”, to istnieje takie $x,$ że to zachodzi. Mamy więc implikację:

$\mathrm{\forall }x:\varphi (x)⟹\mathrm{\exists }x:\varphi (x).$

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego $x$ zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego $x,$ dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.

Zobacz też

• kwantyfikator egzystencjalny
• lista symboli matematycznych