Kwantyfikator egzystencjalny

Kwantyfikator egzystencjalny, kwantyfikator mały, kwantyfikator szczegółowy – kwantyfikator oznaczający, że istnieje takie podstawienie zmiennej, dla którego dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

$\mathrm{\exists }x:\varphi (x)$ (zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „there exists”)

oraz

$\underset{x}{\bigvee }\varphi (x).$

W obu przypadkach czyta się „istnieje takie $x,$ dla którego zachodzi $\varphi (x)$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

$\mathrm{\exists }x:(x\in 𝔸\wedge \varphi (x))$

$\underset{x}{\bigvee }(x\in 𝔸\wedge \varphi (x))$

to używa się uproszczonej notacji:

$\mathrm{\exists }x\in 𝔸:\varphi (x)$

$\underset{x\in 𝔸}{\bigvee }\varphi (x)$

I czyta się „dla pewnego $x$ należącego do zbioru $𝔸$ zachodzi $\varphi (x)$”.

Jeżeli $X=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów $\varphi (x)$ to:

$\mathrm{\exists }x\in 𝕏:\varphi (x)\equiv \varphi (x_0)\vee \varphi (x_1)\vee \cdots \vee \varphi (x_n)$

Zanegowany kwantyfikator egzystencjalny staje się kwantyfikatorem ogólnym i na odwrót:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x:\varphi (x)=\mathrm{\forall }x:\mathrm{\neg }\varphi (x)$

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }x:\varphi (x)=\mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }\varphi (x).$

Kwantyfikator jednoznaczności

Stosowany bywa również zapis:

$\mathrm{\exists }!x\in 𝔸:\varphi (x)$

oznaczający „istnieje dokładnie jedno x z A, dla którego zachodzi $\varphi (x)$”. Jest to Szablon:Link-interwiki który może zostać łatwo zredukowany do podstawowych kwantyfikatorów:

$\mathrm{\exists }x(\varphi (x)\wedge \mathrm{\forall }y(\varphi (y)\Rightarrow y=x))$

Zobacz też

• Kwantyfikator ogólny
• lista symboli matematycznych