Kwadryka

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x, y, z$ ^[1]:

a_{11} x^{2} + a_{22} y^{2} + a_{33} z^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{23} y z + 2 a_{13} z x + 2 a_{14} x + 2 a_{24} y + 2 a_{34} z + a_{44} = 0, (1)

gdzie:

a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{23}, a_{13}, a_{14}, a_{24}, a_{34}, a_{44} \in ℝ,

przy czym nie zachodzi

a_{11} = a_{22} = a_{33} = a_{12} = a_{23} = a_{13} = 0

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników $a_{i j}$ kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach $a, b, c \in ℝ_{+} .$

elipsoida	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
elipsoida obrotowa (szczególny przypadek elipsoidy)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$
sfera (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1$
paraboloida eliptyczna	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$
paraboloida obrotowa (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - z = 0$
paraboloida hiperboliczna	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$
hiperboloida jednopowłokowa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$
hiperboloida dwupowłokowa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$
powierzchnia stożkowa	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$
walec eliptyczny	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości (szczególny przypadek walca eliptycznego)	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$
walec hiperboliczny	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
walec paraboliczny	$x^{2} + 2 a y = 0$
przecinające się płaszczyzny	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$	prosta
równoległe płaszczyzny	$x^{2} = a^{2}$
nakładające się płaszczyzny	$x^{2} = 0$
tzw. równoległe płaszczyzny urojone	$x^{2} = - a^{2}$	zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$	zbiór pusty
tzw. stożek urojony	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$	pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$	zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

𝐱^{T} \cdot 𝐀 \cdot 𝐱 + 2 𝐚^{T} \cdot 𝐱 + a_{44} = 0,

gdzie:

𝐀 = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix}]

𝐚 = [\begin{matrix} a_{14} \\ a_{24} \\ a_{34} \end{matrix}]

𝐱 = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]

Niezmienniki

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

Δ = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix} |

δ = \det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{matrix} |

S = a_{11} + a_{22} + a_{33}

T = a_{22} a_{33} + a_{33} a_{11} + a_{11} a_{22} - a_{23}^{2} - a_{13}^{2} - a_{12}^{2}

Określenie typu na podstawie współczynników

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.

δ≠0 tzw. powierzchnie środkowe:
- Δ<0:
  - $S δ > 0, T > 0$ elipsoida (w szczególnym przypadku sfera)
  - $S δ > 0, T < 0$ hiperboloida dwupowłokowa
  - $S δ < 0, T > 0$ hiperboloida dwupowłokowa
- Δ>0:
  - $S δ > 0, T > 0$ zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona)
  - $S δ > 0, T < 0$ hiperboloida jednopowłokowa
  - $S δ < 0, T > 0$ hiperboloida jednopowłokowa
- Δ=0:
  - $S δ > 0, T > 0$ pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
  - $S δ > 0, T < 0$ powierzchnia stożkowa
  - $S δ < 0, T > 0$ powierzchnia stożkowa
δ=0:
- Δ≠0 paraboloidy:
  - $Δ < 0 \Leftrightarrow T > 0$ paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa)
  - $Δ > 0 \Leftrightarrow T < 0$ paraboloida hiperboliczna
- Δ=0:
  - $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{24} \\ a_{14} & a_{24} & a_{44} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{13} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{34} & a_{44} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{matrix} | = 0$
    przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
  - w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:
    - $T > 0$ walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony
    - $T < 0$ walec hiperboliczny
    - $T = 0$ walec paraboliczny