Kryterium Schlömilcha zagęszczające

Kryterium Schlömilcha zagęszczające – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez niemieckiego matematyka, Oskara Schlömilcha.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz $a_n⩾0$ dla wszelkich $n.$ Ponadto niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych

$u(1)<u(2)<u(3)<\dots$

o tej własności, że

$\frac{\mathrm{\Delta }u(n)}{\mathrm{\Delta }u(n-1)}=\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}<N$

dla pewnego $N>0$ oraz wszystkich $n.$ Wówczas szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }u(n)a_{u(n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(u(n+1)-u(n))a_{u(n)}$Szablon:Odn.

Konsekwencje

Biorąc

$u(n)=2^n(n\in \mathbb{N}),$

otrzymuje się kryterium Cauchy’ego zagęszczająceSzablon:Odn.

Przykład zastosowania

Szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$

jest zbieżny. Istotnie, biorąc

$u(n)=n^2,$

mamy

$\frac{\mathrm{\Delta }u(n)}{\mathrm{\Delta }u(n-1)}=\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}=\frac{(n+1{)}^2-n^2}{n^2-(n-1{)}^2}⩽3$

dla wszelkich n. Oznacza to, że kryterium Schlömilcha zagęszczające się stosuje. Zatem rozważany szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n+1{)}^2-n^2}{2^{\sqrt{n^2}}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+1}{2^n}.$

Zbieżność powyższego szeregu wynika z kryterium d’Alemberta, a więc wyjściowy szereg jest istotnie zbieżnySzablon:Odn.

Bibliografia

• D.D. Bonar, M. Khoury Jr., Real Infinite Series. Mathematical Association of America, Washington DC, 2006.