Kryterium Cauchy’ego zagęszczające

Kryterium Cauchy’ego zagęszczająceSzablon:Odn (także kryterium kondensacyjne, kryterium zagęszczania) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych udowodnione przez Cauchy’ego. Rozszerzeniem kryterium Cauchy’ego zagęszczającego jest kryterium Schlömilcha zagęszczające.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

którego ciąg wyrazów jest nierosnący oraz $a_n⩾0$ dla wszelkich $n.$ Ponadto, niech dany będzie szereg

Szablon:Wzór

Wówczas szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego szereg Szablon:LinkWzór można zastąpić szeregiem

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}^n\cdot a_{p^n}$

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej $p$Szablon:Odn.

Dowód

W dowodzie wygodnie jest użyć notacji funkcyjnej; niech

$f(n)=a_n(n\in \mathbb{N}).$

Ponieważ ciąg $(f(n))$ jest nierosnący, zachodzą oszacowania

$0⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\stackrel{(1)}{⩽}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\stackrel{(2)}{⩽}2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)⩽\mathrm{\infty }.$

Istotnie, nierówność (1) wynika z oszacowaniaSzablon:Odn:

$\begin{array}{ccccccccc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)& =& f(1)& +& f(2)+f(3)& +& f(4)+f(5)+f(6)+f(7)& +& \dots \\ & =& f(1)& +& (f(2)+f(3))& +& (f(4)+f(5)+f(6)+f(7))& +& \dots \\ & ⩽& f(1)& +& (f(2)+f(2))& +& (f(4)+f(4)+f(4)+f(4))& +& \dots \\ & =& f(1)& +& 2f(2)& +& 4f(4)& +& \dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\end{array}.$

Nierówność (2) wynika natomiast z oszacowaniaSzablon:Odn:

$\begin{array}{ccc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)& =& f(1)+(f(2)+f(2))+(f(4)+f(4)+f(4)+f(4))+\dots \\ & =& (f(1)+f(2))+(f(2)+f(4)+f(4)+f(4))+\dots \\ & ⩽& (f(1)+f(1))+(f(2)+f(2)+f(3)+f(3))+\dots =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\end{array}.$

Z kryterium porównawczego wynika zatem, że szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżnySzablon:Odn.

Przykłady zastosowania

• Szereg harmoniczny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

jest rozbieżny. Istotnie,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n\cdot \frac{1}{2^n}=1+1+1+\dots =\mathrm{\infty }$Szablon:Odn.

• Szereg

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot \ln n}$

jest rozbieżny. Istotnie,

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{2}^n\cdot \frac{1}{2^n\cdot \ln 2^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot \ln 2}=\mathrm{\infty },$

co wynika z rozbieżności szeregu harmonicznegoSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę