Kopula (matematyka)

Kopula (rzadziej kopuła, ang. copula) – wykorzystywana w teorii prawdopodobieństwa i statystyce funkcja służąca do opisu i modelowania wielowymiarowej współzależności (korelacji) między zmiennymi losowymi. Formalnie kopula to wielowymiarowa dystrybuanta łącznego rozkładu prawdopodobieństwa, którego wszystkie rozkłady brzegowe są jednostajne w przedziale [0, 1].

Kluczową ideą kopuli jest oddzielenie zależności między zmiennymi losowymi od ich indywidualnych rozkładów, co umożliwia elastyczne modelowanie współzależności. Zgodnie z twierdzeniem Sklara dowolny wielowymiarowy rozkład łączny można zapisać przy użyciu jednowymiarowych rozkładów brzegowych i kopuli opisującej strukturę zależności między jednowymiarowymi zmiennymi.

Kopule są szeroko stosowane w matematyce finansowej do modelowania i minimalizacji ryzyka skrajnego oraz optymalizacji portfeli.

Kopula dwuwymiarowa

W szczególności dwuwymiarową kopulą $C:I^2⟶I$ nazywamy funkcję spełniającą następujące warunki:

1. $C(0,t)=C(t,0)=0,$
2. $C(1,t)=C(t,1)=t$ dla wszystkich $t\in I,$
3. $C(u_2,v_2)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_1,v_1)⩾0$

dla wszystkich $u_1,u_2,v_1,v_2\in I,$ takich że $u_2⩾u_1$ i $v_2⩾v_1.$

Twierdzenie Sklara

Niech $H(x,y)$ będzie dwuwymiarową funkcją dystrybuanty z dystrybuantami brzegowymi $F(x)$ i $G(y).$ Wtedy istnieje kopula C spełniająca warunek:

$H(x,y)=C(F(x),G(y)).$

Ponadto jeżeli F i G są ciągłe, wówczas C jest jednoznaczna.

Linki zewnętrzne

• Copula Wiki Szablon:Lang