Konstrukcja Kochańskiego

Wzorowana na oryginalnym rysunku Kochańskiego z Acta Eruditorum ilustracja jego przybliżonej rektyfikacji okręgu

Szablon:Commonscat Konstrukcja Kochańskiego – przybliżona metoda rektyfikacji okręgu, czyli wykreślenia odcinka o długości równej połowie obwodu danego okręgu zaproponowana w 1685 roku przez polskiego matematyka Adama Adamandego Kochańskiego. Pozwala na przybliżone wykreślenie odcinka $\pi$ razy dłuższego niż dany odcinek.

Opis konstrukcji

• Kreślimy okrąg o środku w punkcie $P_1$ i promieniu $r.$
• Kreślimy średnicę okręgu $\overline{P_2{P}_3}.$
• Kreślimy styczną do okręgu w punkcie $P_2.$
• Kreślimy okrąg (łuk okręgu) o środku w punkcie $P_2$ i promieniu $r.$ Punkt przecięcia (jeden z dwóch możliwych) oznaczamy jako $P_4.$
• Kreślimy okrąg (lub łuk okręgu) o środku w punkcie $P_4$ i promieniu $r.$ Punkt przecięcia okręgów o środkach $P_2$ i $P_4$ różny od punktu $P_1$ oznaczamy jako $P_5.$ Punkty $P_1$ i $P_5$ wyznaczają symetralną odcinka $\overline{P_2{P}_4}.$
• Punkt przecięcia $\overline{P_1{P}_5}$ ze styczną do okręgu w punkcie $P_2$ oznaczamy jako $P_6.$
• Na tej prostej (na stycznej $P_2{P}_6$) odkładamy 3-krotnie odcinki długości $r$ z punktu $P_6$ w stronę punktu $P_2,$ uzyskując kolejno punkty $P_7,$ $P_8,$ $P_9.$
• Odcinek $\overline{P_3{P}_9}$ ma długość w przybliżeniu równą $\pi r$

$|P_3{P}_9|=|P_1{P}_2|\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}\approx 3,1415333387\cdot |P_1{P}_2|\approx \pi r.$

Odcinek $\overline{P_1{P}_5}$ jest przedłużeniem wysokości trójkąta równobocznego $P_1{P}_4{P}_2,$ co oznacza, że tworzy on kąt 30° z odcinkiem $\overline{P_2{P}_3}$.

Oszacowanie błędu względnego

$|\pi -\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}|\approx 0,0000593148847.$

Zatem błąd pojawia się dopiero na piątym miejscu po przecinku. Takie przybliżenie zwykle w praktycznych zastosowaniach jest wystarczające.

Kwadratura koła oparta na konstrukcji Kochańskiego

Na podstawie konstrukcji Kochańskiego możliwa jest również przybliżona kwadratura koła. Ilustruje to poniższy rysunek.