Koneksja Levi-Civity

Szablon:Grafika rozwiniętaKoneksja (spójność, połączenie) Levi-Civity – metoda obliczania przesunięcia równoległego wektorów i tensorów zdefiniowana na wiązce stycznej rozmaitości, która zachowuje metrykę (tzn. i jest pozbawiona torsji (skręcenia)), podana przez Levi-Civitę.Szablon:Grafika rozwiniętaPodstawowe twierdzenie geometrii Riemanna stwierdza, że dla każdej rozmaitości riemannowskiej i pseudoriemannowskiej istnieje unikatowe połączenie o takich właściwościach.

Pojęcie połączenia Levi-Civity łączy się ściśle z pojęciem pochodnej kowariantnej na rozmaitości. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.

Definicja formalna

Załóżmy, że $(M,g)$ jest rozmaitością riemannowską. Połączenie afiniczne $\mathrm{\nabla }$ jest nazywane połączeniem Levi-Civity, gdy:

1. zachowuje metrykę, tzn. pochodna kowariantna tensora metrycznego jest równa zeru:

$\mathrm{\nabla }g=0.$

Równoważnie, gdy zachodzi równość $X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$ dla dowolnych stycznych pól wektorowych $X,Y,Z.$

2. nie ma skręcenia, tj. dla dowolnych stycznych pól wektorowych $X,Y$ mamy

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y],$

gdzie $[X,Y]$ to nawias Liego pól wektorowych $X$ oraz $Y.$

Warunek 1 jest nazywany kompatybilnością z metryką, a warunek 2 nazywany jest symetrią.

Motywacja

Jako pierwszy przykład rozważmy przestrzeń euklidesową ${ℝ}^n$ z bazą standardową $e_1,\dots ,e_n$ i standardową metryką $g(e_i,e_j)={\delta }_{ij},$ w której baza standardowa jest ortonormalna. Dla dwóch pól stycznych $X=\sum _i{X}^i{e}_i,$ $Y=\sum _j{Y}^j{e}_j$ określamy standardowe połączenie euklidesowe wzorem:

${\bar{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y:=\sum _{i,j}{X}^i{\partial }_i{Y}^j{e}_j.$

Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że określone powyżej przekształcenie $\bar{\mathrm{\nabla }}$ jest połączeniem afinicznym oraz spełnia warunki 1 i 2 na połączenie Levi-Civity.

W drugiej kolejności rozważmy gładką podrozmaitość $ℳ\subseteq {ℝ}^n$ z metryką dziedziczoną z otaczającej przestrzeni ${ℝ}^n.$ Połączenie afiniczne na $ℳ$ można łatwo określić, korzystając z $\bar{\mathrm{\nabla }}$ – dla pól stycznych $X,Y$ na $ℳ$ możemy mianowicie dobrać dowolne przedłużenia do pól stycznych na ${ℝ}^n$ i zadać

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y:={\pi }^{\mathrm{\top }}({\bar{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y),$

gdzie ${\pi }_p^{\mathrm{\top }}:T_p{ℝ}^n\to T_pℳ$ jest rzutem ortogonalnym na przestrzeń styczną do $ℳ.$ Łatwo się przekonać, że określenie ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ nie zależy od dokonanego wyboru przedłużeń. Nietrudno też sprawdzić, że jest to połączenie Levi-Civity.

Korzystając z twierdzenia Nasha o zanurzeniu izometrycznym, powyższą konstrukcję można wykorzystać do zadania połączenia Levi-Civity na dowolnej rozmaitości riemannowskiej, bez formułowania aksjomatów 1 i 2. Pozostaje jednak problem jednoznaczności (należy wykluczyć sytuację, gdy dwa zanurzenia izometryczne dają różne koneksje) i problem praktycznego opisu koneksji Levi-Civity. Dlatego istnienie i jednoznaczność łatwiej uzyskać na podstawie opisu aksjomatycznego, co opisuje następna sekcja.

Istnienie i jednoznaczność

Załóżmy teraz, że $(M,g)$ jest rozmaitością riemannowską. Sprawdzimy najpierw, że istnieje najwyżej jedno połączenie Levi-Civity.

Rozważmy trzy pola styczne $X,Y,Z.$ Z warunku 1 oraz własności symetrii tensora metrycznego $g$ otrzymuje się

$\begin{array}{cc}X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(Y,X))& =g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y+{\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g({\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g({\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y,X)\\ & =2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)-g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X,Z)+g({\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}X,Y)+g({\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_{Z}Y,X)\end{array}$

Na mocy warunku 2 prawa strona równania jest równa

$2g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),$

więc

$g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)=\frac{1}{2}(X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))$$-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y)).$

Iloczyn skalarny ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ z $Z$ jest więc jednoznacznie wyznaczony w terminach samej metryki. Ponieważ pole $Z$ można wybrać dowolnie, powyższa równość determinuje pole ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y.$

Istnienie połączenia Levi-Civity również wynika z powyższych rozważań. Mianowicie przyjmując ostatnią linię jako definicję ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ można sprawdzić, że wyrażenie tak zdefiniowane spełnia warunki na połączenie Levi-Civity.

Zobacz też

• przeniesienie równoległe
• Tullio Levi-Civita

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Levi-Civita connection Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].