Kiełek funkcji gładkiej

Kiełek funkcji gładkiej w punkcie – klasa abstrakcji funkcji w zbiorze funkcji gładkich (nieskończenie wiele razy różniczkowalnych) określonych w otoczeniach punktu w relacji równoważności, którą spełniają dwie tożsamościowo równe w pewnym otoczeniu tego punktu funkcje.

Definicja

Niech $ℳ$ będzie parazwartą rozmaitością klasy ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}.$

Dla punktu $m\in ℳ$ niech ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(m)$ oznacza rodzinę wszystkich funkcji gładkich określonych w otoczeniach punktu $m$ (mogą być to różne otoczenia dla różnych funkcji).

Niech ${\sim }_m$ będzie relacją równoważności określoną następująco:

Dla funkcji gładkich $f,g\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(m)$ zachodzi relacja $f{\sim }_{m}g$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie $𝒰$ punktu $m$, że dla każdego punktu $x\in 𝒰$ funkcje są tożsamościowo równe, to znaczy $f(x)-g(x)=0$.

Zbiór funkcji gładkich $g$ tożsamych z funkcją f w otoczeniu punktu m nazywamy kiełkami funkcji gładkiej $f$ w punkcie $m$.

$[f{]}_m=\{g\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(m):g{\sim }_{m}f\}.$

Znaczenie

Kiełki mają podobne własności jak funkcje. Szczególnie lokalne własności funkcji i kiełków są podobne. Z tego powodu kiełki są używane do badania lokalnych własności funkcji.

Uwagi

• Jeśli $f(x)\ne g(x),$ to $[f{]}_x\ne [g{]}_x,$ bo z ciągłości obu funkcji wynika istnienie takiego zbioru otwartego $U\ni x,$ że dla każdego $y\in U$ zachodzi nierówność $f(x)\ne g(x).$
• W zbiorze $ℱ=\bigcup _{m\in ℳ}{𝒞}_m^{\mathrm{\infty }}$ można określić topologię. Jej bazą są zbiory $U_f=\{[f{]}_x:x\in U\},$ gdzie $f$ jest reprezentantem elementu $F\in ℱ,$ a zbiór $U$ jest podzbiorem otwartym rozmaitości $ℳ$Szablon:R.
• Przestrzeń określona powyżej nie jest przestrzenią Hausdorffa. Jeśli $[f{]}_x\ne [g{]}_x$ i jednocześnie $f(x)=g(x),$ to $x\in \overline{\{y:f(y)\ne g(y)\}}.$ Wtedy $U_f\cap V_g\ne \varnothing$ dla każdych dwóch zbiorów otwartych $U\ni x,V\ni x,$ bowiem istnieje taki punkt $x_0\in U\cap V,$ że $f(x_0)\ne g(x_0),$ czyli $[f{]}_{x_0}\ne [g{]}_{x_0}.$
• W analizie rozpatruje się także kiełki funkcji klasy ${𝒞}^k$ (o ciągłej k-tej pochodnej), funkcji analitycznych, funkcji holomorficznych lub form różniczkowychSzablon:R.
• Przestrzeń toologiczna $ℱ$ wraz z rozmaitością $ℳ$ rzutowaniem $\pi :[f{]}_x\to x$ tworzy snop funkcji gładkich na rozmaitości $ℳ,$ co oznacza, że rzutowanie to jest lokalnym homeomorfizmem.
• Można je składać i różniczkowaćSzablon:R.
• W szczególności kiełki można rozpatrywać dla funkcji $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^k$Szablon:R lub dla funkcji holomorficznych na obszarach w przestrzeni $ℂ$ lub ${ℂ}^n$, gdzie mają zastosowanie w badaniu funkcji analitycznych i powierzchni Riemanna.
• W zbiorze kiełków funkcji gładkich ${𝒞}_m^{\mathrm{\infty }}={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(m)/\sim$ można określić w naturalny sposób strukturę pierścienia. Nazywany on jest pierścieniem kiełków w punkcie $m$ klasy ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$Szablon:R.