Lokalny homeomorfizm

Lokalny homeomorfizm – takie przekształcenie $f:X\to Y$ przestrzeni topologicznych, że dla każdego $x\in X$ istnieje takie otoczenie $U_x\subseteq X$ punktu $x,$ że

$f{|}_{U_x}:U_x\to Y.$

jest homeomorfizmem na otwarty podzbiór przestrzeni $Y$.

Przykłady

Powierzchnia Riemanna pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej

• Każdy homeomorfizm jest lokalnym homeomorfizmem.
• Twierdzenie Poincarégo-Volterry:

Jeśli $Y$ jest lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej, a $X$ jest spójną przestrzenią Hausdorffa oraz $p:X\to Y$ jest lokalnym homeomorfizmem, to przestrzeń $X$ jest także lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej.

• Projekcja snopa jest lokalnym homeomorfizmem.
• Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.
• Przekształcenie $\phi :ℝ\to ℂ$ określone wzorem

$\phi (x)=e^{ix}$

jest lokalnym homeomorfizmem prostej rzeczywistej na okrąg jednostkowy $|z|=1.$ Można je interpretować jako nawijanie prostej na okrąg.

• Dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej $n,$ przekształcenie

$z\mapsto z^n$

jest lokalnym homeomorfizmem $ℂ\setminus \{0\}\to ℂ\setminus \{0\}.$

• Rzut powierzchni Riemanna funkcji analitycznej

$w=\sqrt[3]{z}$

na płaszczyznę zespoloną jest homeomorfizmem lokalnym.