Nakrycie

Nakrycie zbioru $X$ w otoczeniu $U\subset X$ można sobie wyobrażać jako rzutowanie duplikatów otoczenia $U$ zawartych w zbiorze $Y$ na otoczenie $U.$

Nakrycie (nakrycie rzutowe) – funkcja ciągła $p$ z przestrzeni topologicznej $Y$ do przestrzeni topologicznej $X,$ taka że każdy punkt w $X$ ma otoczenie otwarte $U$ równomiernie pokryte na skutek działania funkcji $p$ (precyzyjna definicja jest podana niżej).

Przestrzeń $Y$ nazywa się przestrzenią nakrywającą.

Przestrzeń $X$ nazywa się przestrzenią bazową (bazą).

Nakryciem uniwersalnym nazywamy nakrycie, którego przestrzeń nakrywająca $Y$ jest jednospójna.

Nakrycia pełnią ważną rolę w teorii homotopii, analizie harmonicznej, geometrii Riemanna i topologii różniczkowej.

Definicja formalna nakrycia

Nakrycie – ciągła surjekcja $p:Y\to X,$ taka że dla każdego $x\in X$ istnieje przestrzeń dyskretna $A$ oraz otoczenie $U\ni x,$ że przeciwobraz otoczenia $U$ w odwzorowaniu $p,$ tj. $p^{-1}(U),$ oraz $U\times A$ są homeomorficzne. Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem.

Definicja włókna

Włóknem nad punktem $x\in X$ nazywa się zbiór, który jest przeciwobrazem punktu $x$ dla odwzorowania $p,$ tj.

$Y_x=p^{-1}(x).$

Definicja krotności włókna

Moc $n=|Y_x|$ włókna nad punktem $x$ nazywa się krotnością nakrycia w punkcie $x.$ Krotność jest funkcją lokalnie stałą.

Definicja nakrycia n-krotnego

Gdy baza $X$ nakrycia jest przestrzenią spójną, krotność jest funkcją stałą, a nakrycie nazywane jest nakryciem n-krotnymSzablon:R.

Przykład

Rozpatrzmy okrąg jednostkowy ${𝐒}^1\subset {𝐑}^2.$ Odwzorowanie $p:𝐑\to {𝐒}^1,$ gdzie

$p(t)=(\cos t,\sin t)$

jest nakryciem, w którym każdy punkt ${𝐒}^1$ ma włókno nieskończone. Odwzorowanie $p$ jest nakryciem uniwersalnym, gdyż przestrzeń pokrywająca $𝐑$ – zbiór liczb rzeczywistych – jest jednospójna.