Izomorfizm muzyczny

Izomorfizm muzyczny – izomorfizm między wiązką styczną $TM$ a wiązką kostyczną $T^{\ast }M$ rozmaitości riemannowskiej $M$ określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja

Szablon:Zobacz też Niech $(M,g)$ oznacza rozmaitość riemannowską, zaś $\{{\partial }_i\}$ oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej $\mathrm{T}M$ z dualnym do niego koukładem $\{\mathrm{d}{x}^i\}.$ Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako $g=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j.$ Dla danego pola wektorowego $X=X^i{\partial }_i$ można zdefiniować jego bemol jako

$X^{\mathrm{♭}}:=g_{ij}{X}^i\mathrm{d}{x}^j=:X_j\mathrm{d}{x}^j.$

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez $g$ otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

$X^{\mathrm{♭}}(Y)=⟨X,Y⟩$

dla wszystkich wektorów $X$ oraz $Y.$

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego $\omega ={\omega }_i\mathrm{d}{x}^i$ można określić jego krzyżyk jako

${\omega }^{\mathrm{♯}}:=g^{ij}{\omega }_i{\partial }_j,$

gdzie $g^{ij}$ są elementami macierzy odwrotnej do $g_{ij}.$ Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy $\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{\ast }M$ oraz $\mathrm{♯}:{\mathrm{T}}^{\ast }M\to \mathrm{T}M.$ Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego $p\in M$ dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między ${\mathrm{T}}_{p}M$ oraz ${\mathrm{T}}_p^{\ast }M.$

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki $\stackrel{k}{⨂}\mathrm{T}M$ oraz $\stackrel{k}{⨂}{\mathrm{T}}^{\ast }M.$ Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole $(2,0)$-tensorowe $X=X_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j.$ Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole $(1,1)$-tensorowe $X^{\mathrm{♯}}=g^{jk}{X}_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes {\partial }_k.$

Ślad tensora poprzez metrykę

Niech dla danego pola $(2,0)$-tensorowego $X=X_{ij}\mathrm{d}{x}^i\otimes \mathrm{d}{x}^j$ będzie określony ślad $X$ poprzez metrykę $g$ jako

${\mathrm{tr}}_g(X):=\mathrm{tr}(X^{\mathrm{♯}})=\mathrm{tr}(g^{jk}{X}_{ij})=g^{ji}{X}_{ij}=g^{ij}{X}_{ij}.$

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też

• dualność
• podnoszenie i opuszczanie wskaźników
• wiązka wektorowa
• bemol i krzyżyk o znakach oraz ♭ i ♯