Iloczyny tensorowe C*-algebr

Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr $A$ i $B,$ C*-algebry będące uzupełnieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym $A\odot B,$ uzależnionych od norm w $A$ i $B.$ W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na $A\odot B$ jest normą krzyżową, tj. spełnia warunek

$\Vert a\otimes b\Vert =\Vert a\Vert \cdot \Vert b\Vert (a\in A,b\in B).$

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.

Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Niech $A$ i $B$ będą C*-algebrami oraz niech ${\pi }_1:A\to ℬ(H_1),$ ${\pi }_2:B\to ℬ(H_2)$ będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na przestrzeniach Hilberta $H_1$ i $H_2.$ Wzór

$({\pi }_1\otimes {\pi }_2)(a\otimes b)={\pi }_1(a)\otimes {\pi }_2(b)(a\in A,b\in B)$

definiuje reprezentację ${\pi }_1\otimes {\pi }_2$ *-algebry $A\odot B$ na iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta $H_1\otimes H_2.$

Minimalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr $A$ i $B$ nazywane jest uzupełnienie normy $\Vert \cdot {\Vert }_{\min }$ na $A\otimes B$ danej wzorem

$\Vert \sum _{k=1}^n{a}_k\otimes b_k{\Vert }_{\min }=\underset{{\pi }_1,{\pi }_2}{\sup }\Vert \sum _{k=1}^n{\pi }_1(a_k)\otimes {\pi }_2(b_k)\Vert (a_k\in A,b_k\in B,k⩽n,n\in \mathbb{N}),$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach ${\pi }_1,$ ${\pi }_2,$ odpowiednio, algebr $A$ i $B.$ Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem $A{\otimes }_{\min }B.$

Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Maksymalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr $A$ i $B$ nazywane jest uzupełnienie normy $\Vert \cdot {\Vert }_{\max }$ na $A\otimes B$ danej wzorem

$\Vert \sum _{k=1}^n{a}_k\otimes b_k{\Vert }_{\max }=\underset{\pi }{\sup }\Vert \pi (\sum _{k=1}^n{a}_k\otimes b_k)\Vert (a_k\in A,b_k\in B,k⩽n,n\in \mathbb{N}),$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach $\pi$ (na przestrzeni Hilberta) *-algebry $A\otimes B.$ Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem $A{\otimes }_{\max }B.$

Nuklearne C*-algebry

Szablon:Osobny artykuł Nazwy minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli $\Vert \cdot {\Vert }_{*}$ jest jakąkolwiek C*-normą na $A\odot B,$ to

$\Vert \cdot {\Vert }_{\min }⩽\Vert \cdot {\Vert }_{*}⩽\Vert \cdot {\Vert }_{\max }.$

C*-algebra $A$ nazywana jest nuklearną, gdy dla każdej innej C*-algebry $B$ normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w $A\otimes B$ są równe, tj.

$\Vert x{\Vert }_{\min }=\Vert x{\Vert }_{\max }(x\in A\odot B).$

W przypadku tensorowania C*-algebry $A$ z nuklearną C*-algebrą $B$ symbolem $A\otimes B$ oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

Bibliografia

• M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.