Iloczyny Arensa

Iloczyny Arensa – dla danej algebry Banacha $A,$ dwa naturalne rozszerzenia działania mnożenia w $A$ do drugiej przestrzeni sprzężonej $A^{\ast \ast }$ (algebra $A$ utożsamiana jest ze swoim kanonicznym obrazem w $A^{\ast \ast }$). Pojęcie wprowadzone przez R. Arensa w 1951 roku.

Definicja

Niech $A$ będzie algebrą Banacha, $a,b\in A;\lambda \in A^{\ast }$ oraz $\Phi \in A^{\ast \ast }.$ Niech ponadto:

$\begin{array}{ccc}a\cdot \lambda & :& b\mapsto ⟨\lambda ,ba⟩,\\ \lambda \cdot a& :& b\mapsto ⟨\lambda ,ab⟩,\\ \lambda \cdot \Phi & :& b\mapsto ⟨\Phi ,b\cdot \lambda ⟩,\\ \Phi \cdot \lambda & :& b\mapsto ⟨\Phi ,\lambda \cdot b⟩.\end{array}$

Wówczas $a\cdot \lambda ,\lambda \cdot a,\lambda \cdot \Phi ,\Phi \cdot \lambda \in A^{\ast }.$ Działania dane wzorami:

$⟨\Phi ◻\Psi ,\lambda ⟩=⟨\Phi ,\Psi \cdot \lambda ⟩,$

$⟨\Phi \diamond \Psi ,\lambda ⟩=⟨\Phi ,\lambda \cdot \Psi ⟩(\Phi ,\Psi \in A^{\ast \ast },\lambda \in A^{\ast }).$

nazywane są, odpowiednio, pierwszym i drugim iloczynem Arensa. Przestrzeń $A^{\ast \ast }$ z każdym z tych działań jest algebrą Banacha. Algebra Banacha nazywana jest regularną w sensie Arensa, gdy obydwa te działania w $A^{\ast \ast }$ pokrywają się.

Przykłady algebr regularnych w sensie Arensa

• Każda C*-algebra $C$ z jedynką jest regularna w sensie Aresna. Jeżeli $\pi ,$ jest jej reprezentacją uniwersalną $C$ na pewnej przestrzeni Hilberta $H,$ to $A^{\ast \ast }$ może być utożsamiona z drugim komutantem $\pi (A).$
• Podalgebry oraz algebry ilorazowe algebr regularnych w sensie Arensa są regularne w sensie Arensa.
• Algebra Banacha ℓ₁ (z mnożeniem splotowym) nie jest regularna w sensie Aresna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę