Iloczyny Arensa

Iloczyny Arensa – dla danej algebry Banacha $A,$ dwa naturalne rozszerzenia działania mnożenia w $A$ do drugiej przestrzeni sprzężonej $A^{**}$ (algebra $A$ utożsamiana jest ze swoim kanonicznym obrazem w $A^{**}$). Pojęcie wprowadzone przez R. Arensa w 1951 roku.

Definicja

Niech $A$ będzie algebrą Banacha, $a,b\in A;\lambda \in A^{*}$ oraz $\mathrm{\Phi }\in A^{**}.$ Niech ponadto:

$\begin{array}{ccc}a\cdot \lambda & :& b\mapsto ⟨\lambda ,ba⟩,\\ \lambda \cdot a& :& b\mapsto ⟨\lambda ,ab⟩,\\ \lambda \cdot \mathrm{\Phi }& :& b\mapsto ⟨\mathrm{\Phi },b\cdot \lambda ⟩,\\ \mathrm{\Phi }\cdot \lambda & :& b\mapsto ⟨\mathrm{\Phi },\lambda \cdot b⟩.\end{array}$

Wówczas $a\cdot \lambda ,\lambda \cdot a,\lambda \cdot \mathrm{\Phi },\mathrm{\Phi }\cdot \lambda \in A^{*}.$ Działania dane wzorami:

$⟨\mathrm{\Phi }◻\mathrm{\Psi },\lambda ⟩=⟨\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }\cdot \lambda ⟩,$

$⟨\mathrm{\Phi }\diamond \mathrm{\Psi },\lambda ⟩=⟨\mathrm{\Phi },\lambda \cdot \mathrm{\Psi }⟩(\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }\in A^{**},\lambda \in A^{*}).$

nazywane są, odpowiednio, pierwszym i drugim iloczynem Arensa. Przestrzeń $A^{**}$ z każdym z tych działań jest algebrą Banacha. Algebra Banacha nazywana jest regularną w sensie Arensa, gdy obydwa te działania w $A^{**}$ pokrywają się.

Przykłady algebr regularnych w sensie Arensa

• Każda C*-algebra $C$ z jedynką jest regularna w sensie Aresna. Jeżeli $\pi ,$ jest jej reprezentacją uniwersalną $C$ na pewnej przestrzeni Hilberta $H,$ to $A^{**}$ może być utożsamiona z drugim komutantem $\pi (A).$
• Podalgebry oraz algebry ilorazowe algebr regularnych w sensie Arensa są regularne w sensie Arensa.
• Algebra Banacha ℓ₁ (z mnożeniem splotowym) nie jest regularna w sensie Aresna.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę