Hipoteza Elliotta-Halberstama

Hipoteza Elliotta-Halberstama jest problemem otwartym teorii liczb. Hipoteza, nazwana po Peterze D.T.A. Elliocie i Heinim Halberstamie, dotyczy szacowania ilości liczb pierwszych występujących w ciągach arytmetycznych. Treść hipotezy została sformułowana po raz pierwszy w 1968 r.

Hipoteza należy do dziedziny teorii sit. Jej prawdziwość miałaby ogromny wpływ na postępy w ustalaniu najmniejszej różnicy występującej między liczbami pierwszymi nieskończenie wiele razy.

Treść hipotezy

Niech $\pi (x)$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze, a $\pi (x;q,a)$ oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze w ciągu arytmetycznym $a+nq$ $(n=0,1,2,\dots ).$ Oznaczmy

$E(x;q)=\underset{(a,q)=1}{\max }|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|,$

gdzie $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczby $x$ i $y,$ a $\phi$ to tocjent Eulera. Wówczas dla każdej stałej $\theta <1$ i stałej $A>0$ zachodzi zależność

$\sum _{1⩽q⩽Q}E(x;q)=O\left(\frac{x}{(\log x{)}^A}\right)$

dla $Q=x^{\theta }$ i wszystkich $x>2$ (przy czym stała uwzględniona w notacji dużego O zależy jedynie od $\theta$ i $A$).

Modyfikacje i znane wyniki

Treść hipotezy, dla ustalonej stałej $\theta ,$ zwykle bywa skracana do $EH[\theta ]$.

$EH[\theta ]$ została udowodniona dla wszystkich $\theta \in (0,\frac{1}{2})$ przez Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa (wynik ten znany jest powszechnie jako twierdzenie Bombieriego-Winogradowa). Dodatkowo wiadomo, że $EH[\theta ]$ dla $\theta =1$ nie jest prawdziwa.

Motohashi-Pintz-Zhang

Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność

$\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽Q\\ q\in S\end{array}}{E}_0(x;q)=O\left(\frac{x}{(\log x{)}^A}\right),$

gdzie $Q=O\left(x^{\theta }\right),$ $\theta =\frac{1}{2}+2\omega ,$ $I\subset [1,x^{\delta }],$ a $S$ oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w $I.$ Dodatkowo przyjmujemy

$E_0(x;q)=|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|,$

tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt $a(\text{mod }q)$ była zależna od $x$ pod warunkiem, że $(a,P_I)=1,$ gdzie

$P_I=\prod _{p\in I}p,$

tzn. $P_I$ to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w $I.$

Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych $\omega$ i $\delta$ bywa zapisywana skrótowo jako $MPZ[\omega ,\delta ]$. Wiadomo, że $MPZ[\omega ,\delta ]$ jest prawdą dla $\omega ,\delta ⩾0$ takich, że $600\omega +180\delta <7$.

Uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama

Niech $\tau (n)$ oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby $n.$ Dodatkowo, niech $N,$ $M$ będą wartościami zależnymi od $x,$ takimi, że $x^{ϵ}⩽x^{o(1)}N$ i $M⩽x^{1-ϵ+o(1)}$ oraz $NM\asymp x$ dla $ϵ>0,$ gdzie $o(1)$ i $\asymp$ oznaczają notację asymptotyczną.

Załóżmy, że funkcje $\alpha :[N,2N]\to ℝ$ i $\beta :[M,2M]\to ℝ$ różne od 0 spełniają zależności

$|\alpha (n)|\ll \tau (n{)}^{O(1)}(\log x{)}^{O(1)}$

oraz

$|\beta (m)|\ll \tau (m{)}^{O(1)}(\log x{)}^{O(1)},$

gdzie $O(1)$ oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że $\beta$ spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,

$|\sum _{\begin{array}{c}n\equiv a(\text{mod }q)\\ (n,r)=1\end{array}}\beta (n)-\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\begin{array}{c}(n,q)=1\\ (n,r)=1\end{array}}\beta (n)|\ll \tau (qr{)}^{O(1)}\frac{M}{(\log x{)}^A},$

dla dowolnych $q,r⩾1$ oraz $(a,q)=1.$ Oznaczmy

$E(f;q)=\underset{(a,q)=1}{\max }|\sum _{n\equiv a(\text{mod }q)}f(n)-\frac{1}{\phi (q)}\sum _{(n,q)=1}f(n)|.$

Wówczas

$\sum _{1⩽q⩽Q}E(\alpha *\beta ;q)\ll \frac{x}{(\log x{)}^A}$

dla $Q⩽x^{o(1)+\theta },$ gdzie $\alpha *\beta$ oznacza splot Dirichleta funkcji $\alpha$ i $\beta .$

Powyższą treść zwykle zapisuje się jako $GEH[\theta ]$ (z ang. generalised Elliott-Halberstam conjecture), a ogólne sformułowanie „uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama” dotyczy prawdziwości $GEH[\theta ]$ dla wszystkich $\theta \in (0,1)$.

Wiadomo, że $GEH[\theta ]$ jest prawdziwa dla $\theta \in (0,\frac{1}{2})$ jako uogólnione twierdzenie Bombieriego-Winogradowa.

Znaczenie hipotezy

Hipoteza Elliota-Halberstama – zarówno pierwotna, jak i uogólniona – mają ogromny wpływ na wyniki dotyczące różnic między liczbami pierwszymi.

Oznaczmy

$H_m=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(p_{n+m}-p_n),$

gdzie $p_n$ oznacza $n$-tą liczbę pierwszą.

Znane są następujące wyniki.

$m$	$⩾H_m$ (wykazane bezwarunkowo)	$⩾H_m$ (zakładając hipotezę EH)	$⩾H_m$ (zakładając GEH)
1	246	–	6
2	398 130	270	252
3	24 797 814	52 116	–
4	1 431 556 072	474 266	–
5	80 550 202 480	4 137 854	–
$m⩾1$	$Cm\exp \left((4-\frac{28}{157})m\right)$	$Cm{e}^{2m}$	–