Hesjan obrzeżony

Hesjan obrzeżony – jest macierzą kwadratową złożoną z pochodnych cząstkowych, która używana jest do rozwiązywania problemu ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych. Pod względem technicznym jest to macierz Hessego poszerzona o dodatkowy wiersz i dodatkową kolumnę.

Przypadek ogólny

Mamy daną funkcję: $f(x_1,x_2,\dots ,x_n).$

W celu znalezienia lokalnych ekstremów warunkowych możemy skorzystać z funkcji Lagrange’a:

Warunek przekształcamy do postaci

$g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0.$

Następnie tworzymy funkcję

$L(x_1,x_2,\dots ,x_n,\lambda )=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)+\lambda \cdot g(x_1,x_2,\dots ,x_n).$

Wtedy hesjan obrzeżony przyjmuje postać:

$\left[\begin{array}{ccccc}0& \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{\partial g}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n}\\ \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial g}{\partial x_2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial g}{\partial x_n}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n^2}\end{array}\right].$

Definiujemy

$H_k=\left|\begin{array}{ccccc}0& \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{\partial g}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_k}\\ \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_k}\\ \frac{\partial g}{\partial x_2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2\partial x_k}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial g}{\partial x_k}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_k^2}\end{array}\right|$   dla $k=2,3,\dots ,n.$

Uwaga: $H_k$ jest wyznacznikiem podmacierzy o rozmiarach $(k+1)\times (k+1).$

Wtedy, jeśli w danym punkcie $x_0=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego $({\mathrm{\forall }}_{i=1,2,...,n}\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\wedge \frac{\partial L}{\partial \lambda }=0),$ prawdziwe są twierdzenia:

Jeśli ${\mathrm{\forall }}_{k=2,3,\dots ,n}{H}_k(x_0;\lambda )<0,$ to funkcja przyjmuje minimum warunkowe w punkcie $x_0.$

Jeśli ${\mathrm{\forall }}_{k=2,3\dots ,n}(-1{)}^{k+1}{H}_k(x_0;\lambda )<0$, to funkcja przyjmuje maksimum warunkowe w punkcie $x_0.$

Funkcja dwóch zmiennych

W przypadku funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$ wystarczy obliczyć wartość jednego wyznacznika:

$H=\left|\begin{array}{ccc}0& \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial y}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial y^2}\end{array}\right|.$

• Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne maksimum warunkowe w punkcie $(x_0,y_0),$ gdy $H(x_0,y_0;\lambda )>0.$
• Funkcja $f(x,y)$ przyjmuje lokalne minimum warunkowe w punkcie $(x_0,y_0),$ gdy $H(x_0,y_0;\lambda )<0.$
• Sytuacja nie jest rozstrzygnięta, gdy $H(x_0,y_0;\lambda )=0.$ Należy wtedy badać istnienie ekstremum innymi metodami.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj stronę