H-kwadrat

H-kwadrat, H² – termin w matematyce i teorii sterowania odnoszący się do przestrzeni Hardy’ego z normą kwadratową. Jest to podprzesztrzeń przestrzeni L² i dlatego jest przestrzenią Hilberta. W szczególności jest przestrzenią Hilberta reprodukującą jądro.

Na okręgu jednostkowym

W ogólności, elementy L² na okręgu jednostkowym są dane przez

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi },$

podczas gdy elementy H² są dane wyrażeniem

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }.$

Projekcja z L² do H² (poprzez podstawienie $a_n=0,$ gdy $n<0$) jest ortogonalna.

Na półpłaszczyźnie

Transformata Laplace’a $ℒ$ dana wyrażeniem:

$[ℒf](s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

może być rozumiana jako operator liniowy

$ℒ:L^2(0,\mathrm{\infty })\to H^2\left({ℂ}^{+}\right),$

gdzie $L^2(0,\mathrm{\infty })$ jest zbiorem funkcji całkowalnych z kwadratem, określonych na osi dodatnich liczb rzeczywistych, a ${ℂ}^{+}$ jest prawą półpłaszczyzną płaszczyzny zespolonej. Co więcej, jest to izomorfizm, przy tym odwracalny, izometryczny i spełniający:

$\Vert ℒf{\Vert }_{H^2}=\sqrt{2\pi }\Vert f{\Vert }_{L^2}.$

Transformata Laplace’a jest połową transformaty Fouriera; z dekompozycji

$L^2(ℝ)=L^2(-\mathrm{\infty },0)\oplus L^2(0,\mathrm{\infty })$

otrzymuje się dekompozycję ortogonalną $L^2(ℝ)$ do dwóch przestrzeni Hardy’ego.

$L^2(ℝ)=H^2\left({ℂ}^{-}\right)\oplus H^2\left({ℂ}^{+}\right).$

Jest to w istocie twierdzenie Paley-Wienera.

Zobacz też

• H-nieskończoność
• normy
• przestrzeń unormowana

Bibliografia

• Jonathan R. Partington, „Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory”, London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, Szablon:ISBN.