Normy (robotyka)

Normy w teorii sterowania (i robotyce) – normy stosowane w algorytmach sterowania, w szczególności sterowania odpornego. Przede wszystkim stosuje się normy zwykłe, rzadziej definiuje się dodatkowe.

Normy macierzy

Dla macierzy dostępna jest norma spektralna:

$\Vert A{\Vert }_2⩽\sqrt{{\lambda }_{A^{T}A}}$

oraz

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}{\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}=\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^n|A_{ij}|.$

Macierzy dotyczy także własność pierścieniowa:

$\Vert A*B\Vert <\Vert A\Vert *\Vert B\Vert ,$

która jest stosowana w sterowaniu odpornym.

Normy dla funkcji

Korzystając z notacji normy euklidesowej:

$\Vert v\Vert =v^{T}v=\sqrt{\sum _{i=1}^m{v}_i^2},$

gdzie $v=[v_1,v_2,\dots ,v_m],$

dla funkcji $u(t)$ zdefiniować można normę:

$\Vert u{\Vert }_p=\sqrt[p]{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert u(t){\Vert }_p^{p}dt},$

gdzie $p$ oznacza stopień normy.

Wtedy energia sygnału zdefiniowana jest jako:

$\Vert u{\Vert }_2^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\Vert u(t){\Vert }_2^{2}dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}u(t{)}^{*}u(t)dt,$

a amplituda jako:

$\Vert u{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p}{\sup }\Vert u(t){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p}{\sup }(\underset{i}{\max }|u_i(t)|).$

Zobacz też

• H-kwadrat
• kryterium sterowania
• przestrzeń unormowana