Funkcja logistyczna

Wykres standardowej funkcji logistycznej

Funkcja logistyczna lub krzywa logistyczna – wykorzystywana do modelowania wielu zjawisk krzywa w kształcie litery S (krzywa sigmoidalna) opisana równaniem

$f(x)=\frac{L}{1+e^{-k(x-x_0)}}$,

gdzie L to parametr wyznaczający kres górny zbioru wartości funkcji, w określonych kontekstach nazywany pojemnością środowiska, k to logistyczna stopa wzrostu wyznaczająca tempo przyrostu krzywej, zaś $x_0$ to wartość $x$ wyznaczająca środek krzywej (punkt przegięcia, w którym funkcja przyjmuje wartość $L/2$).

Spotyka się też zapis

$f(x)=\frac{a}{1+b{e}^{-cx}}$.

Oba zapisy są równoważne: $a=L$, $c=k$, zaś $b=e^{k{x}_0}$ ($x_0=\text{ln}b/c$).

Dziedziną funkcji logistycznej są liczby rzeczywiste, granica dla $x\to -\mathrm{\infty }$ wynosi 0, a granica dla $x\to +\mathrm{\infty }$ to $L$.

Funkcja logistyczna znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w biologii (zwłaszcza ekologii), biomatematyce, chemii, demografii, ekonomii (np. modelowanie dyfuzji innowacji), teorii prawdopodobieństwa i statystyce (np. regresja logistyczna), socjologii, językoznawstwie, sztucznych sieciach neuronowych. Przy odpowiednio dobranych parametrach funkcja logistyczna jest dystrybuantą rozkładu logistycznego.

Standardowa funkcja logistyczna

Standardowa funkcja logistyczna to funkcja logistyczna z parametrami $L=1,k=1,x_0=0$ ($b=1$) opisana równaniem

$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

i niekiedy nazywana po prostu sigmoidem (ang. the sigmoid). Innym stosowanym określeniem jest expit, co nawiązuje do faktu, że funkcja jest odwrotnością logitu. Standardowa funkcja logistyczna jest dystrybuantą rozkładu logistycznego z parametrami $\mu$ = 0 i $s$ = 1.

Uogólnienia

Istnieje wiele uogólnień funkcji logistycznej znajdujących zastosowanie w modelowaniu wzrostu. Należą do nich między innymi uogólniona krzywa logistyczna i Szablon:Link-interwiki.

W statystyce, gdzie wartości funkcji logistycznej są interpretowane jako prawdopodobieństwa wystąpienia jednej z dwóch możliwych kategorii, uogólnieniem na trzy lub więcej kategorii jest funkcja softmax, której wartości są wektorami.