Rozkład logistyczny

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład logistyczny – ciągły rozkład prawdopodobieństwa używany w szczególności do opisu analitycznego procesów wzrostu osiągających stan wysycenia.

Rozkład logistyczny ma jako podstawę funkcję logistyczną:

$l(x)=\frac{g}{1+d\cdot e^{-cx}},$

$g$ wyznacza przy tym granicę wysycenia. Normalizując funkcję logistyczną przez podstawienie $g\equiv 1,$ uzyskujemy funkcję opisującą rozkład logistyczny. Zazwyczaj stosuje się dalsze podstawienia:

$e^{\frac{\mu }{s}}=d$

oraz

$\frac{1}{s}=c.$

Symetria

Logistyczna zmienna losowa jest symetryczna względem wartości oczekiwanej $\alpha ,$ który jest jednocześnie medianą rozkładu.

Kwantyle

Do obliczenia kwantyli można użyć funkcji odwrotnej:

$F^{-1}(p)=\mu -s\ln \left(\frac{1-p}{p}\right).$

Zastosowanie

Przy pomocy rozkładu logistycznego opisuje się w statystyce czas trwania jakiegoś stanu, np. trwałość urządzeń elektronicznych. Dalej używa się rozkładu również do estymacji wskaźnika struktury dychotomicznej zmiennej w tzw. regresji Logit. Często stosuje się w statystyce wszakże również funkcję logistyczną, np. w nieliniowej metodzie najmniejszych kwadratów do estymacji szeregów czasowych.

Przykład

Na podstawie długoletniego doświadczenia wiadomo, że czas niezawodnego działania elektrycznych szczoteczek do zębów pewnego producenta opisuje dobrze rozkład logistyczny z wartością oczekiwaną 8 lat i wariancją σ² = 4 lata². Można więc zapisać

$\mu =8$ oraz

$s=\frac{\sigma \cdot \sqrt{3}}{\pi }=\frac{2\cdot \sqrt{3}}{\pi }\approx 1,10.$

Tak na przykład prawdopodobieństwo, że szczoteczka do zębów będzie działać przez ponad dziesięć lat wynosi:

$\mathrm{P}(X>10)=1-\mathrm{P}(X⩽10)=1-\frac{1}{1+e^{-\frac{10-8}{1,1}}}=1-0,8538=0,1462.$

A więc ok. 15% wszystkich szczoteczek będzie działać co najmniej dziesięć lat.

Poszukajmy teraz okresu, po jakim 99,95% wszystkich szczoteczek działa niezawodnie.

$F^{-1}(0,9995)\approx 8-1,10\ln \frac{0,9995}{1-0,9995}\approx -0,36044.$

Odpowiedź jest absurdalna: ok. 4 miesięcy przed wyprodukowaniem. W tym przykładzie przyjęto, że czas niezawodnego działania szczoteczek do zębów w szerokim zakresie (ale nie w całym $ℝ$) jest dobrze opisywany przez teoretyczny rozkład (logistyczny) zmiennej losowej.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].
• Szablon:Otwarty dostęp Logistic distribution Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].