Dynamika światów Robertsona-Walkera

Szablon:Dopracować Szablon:Integracja Opisuje zachowanie się światów czasu-przestrzeni (zależność czasową) na bazie równań Einsteina. W kosmologii rozważa się dwa interesujące przypadki:

• Era zdominowana przez materię: gęstość energii pochodzi od materii zawartej w galaktykach. Stosujemy tutaj przybliżenie pyłowe $p=0$ ($p$ – ciśnienie), ponieważ materia ma prędkości chaotyczne o małych wartościach. Matematycznie możemy to zapisać jako:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\rho a^3)=0,$

gdzie:

$\rho$ – gęstość materii,

$a$ – czynnik skali.

• Era zdominowana przez promieniowanie: większość gęstości energii pochodzi od cząstek relatywistycznych i promieniowania, w tym przypadku jako równanie stanu przyjmujemy $p=\frac{1}{3}\rho .$ Możemy wtedy zapisać następującą zależność:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\rho a^4)=0.$

Przyjmując dodatkowe założenie przestrzennej jednorodności oraz że świat jest wypełniony płynem doskonałym, przy czym $\rho =\rho (t),p=p(t)$ możemy zapisać tensor Einsteina dla metryki Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera dla składowej czasowej:

$G_{tt}=3{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2+\frac{3k}{a^2}=8\pi T_{tt},$

gdzie $k$ jest stałą kosmologiczną.

Równania na pozostałe składowe $(G_{rr},G_{\mathrm{\Theta }\mathrm{\Theta }},G_{\mathrm{\Phi }\mathrm{\Phi }})$ są proporcjonalne do $G_{tt},$ a więc nie dostarczają nam żadnej dodatkowej informacji.

Dla światów zdominowanych przez materię z początkowych założeń otrzymujemy, że $\rho =\frac{C}{a^3},C$ jest stałą całkowania.

Wtedy możemy napisać następującą równość:

${\dot{a}}^2=-k-V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(a),V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=-\frac{8\pi C}{3a}.$

Świat może istnieć w obszarach, w których $-k>V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}},$ implikuje to warunek ${\dot{a}}^2>0.$

Ponieważ obecnie wiemy, że $\dot{a}>0$ (Wszechświat rozszerza się), możliwe są trzy scenariusze przyszłości:

• $k=-1$ – świat rozszerza się do nieskończonego promienia ze skończoną prędkością końcową,
• $k=0$ – świat rozszerza się do nieskończonego promienia, ale ze stale zmniejszającą się prędkością,
• $k=+1$ – świat osiąga maksimum dla $a=\frac{8}{3}\pi C.$ Jest to równocześnie punkt zwrotu, Wszechświat w dalszej ewolucji zapada się.

Wspólną cechą wszystkich trzech przypadków jest to, że zaczynają się one od $a=0,$ nie mają punktów zwrotu dla małych $a$ i jest to tzw. Wielki Wybuch. Ma to poważne implikacje fizyczne, ponieważ oznacza to, że w przeszłości Wszechświat musiał być mniejszy, a co za tym idzie mieć większą gęstość $\rho$ i temperaturę $T.$

Taki sam wynik rozważań uzyskamy dla Wszechświata zdominowanego przez promieniowanie. Wtedy można napisać $\rho =\frac{B}{a^4}.$ Oznacza to, że

${\dot{a}}^2=\frac{8\pi B}{3a^2}-k.$

Jakościowo nie różni się to od równania dla Wszechświata zdominowanego przez materię (początkowym punktem jest $a=0$).

Hawking i Penrose pokazali, że można osłabić założenia powyższych wyprowadzeń, rezygnując z izotropii i jednorodności. Mówią o tym twierdzenia o osobliwościach, które pokazują, że Wszechświat posiadał osobliwość bez względu na wielkość asymetrii. Twierdzenia te jednak nie wyjaśniają natury tej osobliwości.