Autokorelacja

Przykładowy wykres autokorelacji. Wartości autokorelacji są umieszczone na osi pionowej, a przesunięcia czasowe na osi poziomej

Autokorelacja – narzędzie matematyczne często używane w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu $k$ przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o $k$ jednostek czasu.

Definicja

Statystyka

W statystyce funkcja autokorelacji opisuje korelację procesu w różnych punktach czasu. Załóżmy, że $X_t$ jest wartością procesu w czasie $t.$ Jeśli $X_t$ ma wartość oczekiwaną równą $\mu$ i wariancję równą ${\sigma }^2,$ wówczas wzór ma postać:

$R(t,s)=\frac{E[(X_t-\mu )(X_s-\mu )]}{{\sigma }^2},$

gdzie $E$ jest wartością oczekiwaną.

Definiuje się również autokorelację jako funkcję jednej zmiennej – różnicy $k=t-s:$

$R(k)=\frac{E[(X_t-\mu )(X_{t-k}-\mu )]}{{\sigma }^2}.$

Na przykład autokorelacja cen akcji dla $k=1$ tydzień będzie korelacją cen akcji z cenami tych samych akcji sprzed tygodnia.

Przetwarzanie sygnałów

W przetwarzaniu sygnałów poniższa definicja jest często stosowana bez normalizacji, to znaczy bez odejmowania średniej oraz dzielenia przez wariancję.

$R_{ff}(\tau )=\bar{f}(-\tau )*f(\tau )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t+\tau )\bar{f}(t)dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\bar{f}(t-\tau )dt,$

gdzie $\tau$ jest opóźnieniem, a $\bar{f}$ liczbą sprzężoną.

Zobacz też

• autokowariancja
• autoregresja
• korelacja wzajemna
• funkcja autokorelacji cząstkowej