Aproksymacja wielomianowa

Przykładowe wielomiany różnych stopni

Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu.

Sformułowanie problemu

Wiemy, że dla pewnego zbioru punktów $x_0,x_1,\dots ,x_n$ funkcja przyjmuje wartości $y_0,y_1,\dots ,y_n.$ Naszym celem jest znalezienie wielomianu w postaciSzablon:Odn:

$F(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_m{x}^m,$

$F(x)=\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i$

takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach $x_0,x_1,\dots ,x_n$ było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria toSzablon:Odn:

• maksymalna różnica $(|F(x)-y|)$ powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna),
• suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza,
• suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).

Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa

W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:

$H(a_0,a_1,\dots ,a_m)=\sum _{j=0}^{n}w(x_j)(y_j-\sum _{i=0}^m{a}_i{x}_j^i{)}^2.$

Współczynnik $w(x_j)$ jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąćSzablon:Odn.

Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników $a_0,a_1,\dots ,a_m$ są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równańSzablon:Odn:

$\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial a_0}=0\\ \frac{\partial H}{\partial a_1}=0\\ \dots \\ \frac{\partial H}{\partial a_m}=0\end{array}$

Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaciSzablon:Odn:

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_0(n+1)& +& a_1\sum _{j=0}^n{x}_j& +& \dots & +& a_m\sum _{j=0}^n{x}_j^m& =& \sum _{j=0}^n{y}_j\\ a_0\sum _{j=0}^n{x}_j& +& a_1\sum _{j=0}^n{x}_j^2& +& \dots & +& a_m\sum _{j=0}^n{x}_j^{m+1}& =& \sum _{j=0}^n{y}_j{x}_j\\ \dots & & \dots & & \dots & & \dots & & \dots \\ a_0\sum _{j=0}^n{x}_j^m& +& a_1\sum _{j=0}^n{x}_j^{m+1}& +& \dots & +& a_m\sum _{j=0}^n{x}_j^{2m}& =& \sum _{j=0}^n{y}_j{x}_j^m\end{array}$

Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.

Stopień wielomianu

Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja $(m<n).$ Dla $m=n$ zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowejSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę