Średnia arytmetyczno-geometryczna

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich $a$ i $b,$ oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez $AGM(a,b)$ lub $M(a,b),$ nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},$

$b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n},$

gdzie $a_0=a$ oraz $b_0=b,$ przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych $a,b$ rzeczywistych dodatnich, ponieważ $b_n⩽b_{n+1}⩽a_{n+1}⩽a_n,$ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów $(a_n)$ i $(b_n)$ dążą do zera:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=0.$

Z samej konstrukcji mamy:

$\sqrt{ab}⩽M(a,b)⩽\frac{a+b}{2}.$

Przykład

Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb $a_0=24$ i $b_0=6,$ najpierw wyliczamy wartości średnich:

$a_1=\frac{24+6}{2}=15,$

$b_1=\sqrt{24\cdot 6}=12$

i dalej rekurencyjnie:

$a_2=\frac{15+12}{2}=13,5,$

$b_2=\sqrt{15\cdot 12}=13,4164078649\dots$

$\dots .$

Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy:

$n$	$a_n$	$b_n$
0	24	6
1	15	12
2	13,5	13,416407864998738178455042…
3	13,458203932499369089227521…	13,458139030990984877207090…
4	13,458171481745176983217305…	13,458171481706053858316334…
5	13,458171481725615420766820…	13,458171481725615420766806…

Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem. Średnia arytmetyczno-geometryczna liczb 24 i 6 jest wspólną granicą podanych dwóch ciągów, równą w przybliżeniu 13,4581714817256154207668131569743992430538388544.

Własności

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\alpha }{\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }}=\frac{\pi }{2M(a,b)},$

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi }{2M(1,\sqrt{2})}.$

Wielkość $M(1,\sqrt{2})$ nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu $1,1981402347355922074399\dots$

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.:

$M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),\text{dla }\lambda ⩾0,$

$M(a,b)=M(\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}),$

czyli w szczególności dla $0<x<1$

$M(1-x,1+x)=M(1,\sqrt{1-x^2}).$

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta:

$\pi =\frac{4[M(1,2^{-\frac{1}{2}}){]}^2}{1-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{j+1}{c}_j^2},$

gdzie:

$c_n=\frac{1}{2}(a_n-b_n)$

oraz $a_0=1$ i $b_0=\frac{1}{\sqrt{2}},$ zaś $a_n$ i $b_n$ dla $n>0$ otrzymujemy ze wzorów powyżej.

Bibliografia

• L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld