Równanie falowe

Równanie falowe – matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial {}^2}{\partial t^2}u-c^2\cdot {\mathrm{△}}_{x}u=0,& u:{ℝ}^n\times {ℝ}_{+}\to ℝ,x\in {ℝ}^n,t\in {ℝ}_{+}\\ u(x,0)=f(x),& f:{ℝ}^n\to ℝ\\ \frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=g(x),& g:{ℝ}^n\to ℝ\end{array}$

gdzie ${ℝ}_{+}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych.

W równaniu funkcja $u(x,t)$ jest niewiadomą opisującą wychylenie fali w punkcie $x$ w chwili $t.$ Zadane są początkowe położenie fali $f$ oraz początkowy impuls $g.$ Fizycznie stała $c$ oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. prędkość fali dźwiękowej to 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C). Symbol ${\mathrm{△}}_x$ to laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d’Alemberta:

$◻u(x,t)=0.$

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki $n=1,2,3.$

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Broglie’a:

$e^{i(Et-\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{p})/\hslash }.$

Równanie falowe można wyprowadzić z równań Maxwella.

Rozwiązania równania falowego

Równanie struny i wzór d’Alemberta

Jednowymiarowe $(n=1)$ równanie falowe nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial {}^2}{\partial t^2}u-c^2\cdot {\mathrm{△}}_{x}u=0,& u:ℝ\times {ℝ}_{+}\to ℝ\\ u(x,0)=f(x),& f:ℝ\to ℝ\\ \frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=g(x),& g:ℝ\to ℝ\end{array}$

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

$u(x,t)=\alpha (x-ct)+\beta (x+ct),$

gdzie $\alpha ,\beta$ są dowolnie wybrane.

Przy założeniu regularności $f\in C^2(ℝ),g\in C^1(ℝ)$ oraz uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

$u(x,t)=\frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}g(z)\mathrm{d}z.$

Jest to wzór d’Alemberta. Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej

Struna półnieskończona to jednowymiarowa struna przymocowana na stałe z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

$u(0,t)=0$ dla dowolnego $t\in ℝ.$

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

$\{\begin{array}{cc}u(x,t)=\frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{x-ct}{\overset{x+ct}{\int }}g(z)\mathrm{d}z,& x⩾ct\\ u(x,t)=\frac{f(x+ct)-f(ct-x)}{2}+\frac{1}{2c}\underset{ct-x}{\overset{ct+x}{\int }}g(z)\mathrm{d}z,& x<ct\end{array}$

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa

Równanie falowe dla $n=3$ ma postać

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial {}^2}{\partial t^2}u-c^2\cdot {\mathrm{△}}_{x}u=0,& u:{ℝ}^3\times {ℝ}_{+}\to ℝ\\ u(x,0)=f(x),& f:{ℝ}^3\to ℝ\\ \frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=g(x),& g:{ℝ}^3\to ℝ\end{array}$

Rozwiązanie równania można wyprowadzić za pomocą średnich sferycznych. Przy założeniu regularności $f\in C^3({ℝ}^3),g\in C^2({ℝ}^3)$ rozwiązaniem jest:

$4\pi c^2\cdot u(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{t}\underset{S^2(x,ct)}{\int }f(z)\mathrm{d}\sigma (z)\right)+\frac{1}{t}\underset{S^2(x,ct)}{\int }g(z)\mathrm{d}\sigma (z).$

Jest to wzór Kirchhoffa.

Równanie falowe w wymiarze 2 i wzór Poissona

Równanie falowe dla $n=2$ można rozwiązać metodą spadku. Przy założeniu regularności $f\in C^3({ℝ}^3),g\in C^2({ℝ}^3)$ rozwiązaniem jest:

$2\pi c\cdot u(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}\left(\underset{D(x,ct)}{\int }\frac{f(z)\mathrm{d}\sigma (z)}{\sqrt{c^2{t}^2-|z-x{|}^2}}\right)+\underset{D(x,ct)}{\int }\frac{g(z)\mathrm{d}\sigma (z)}{\sqrt{c^2{t}^2-|z-x{|}^2}}.$

Niejednorodne równanie falowe w wymiarze 3

Niejednorodne równanie falowe to równanie postaci:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial {}^2}{\partial t^2}u-c^2\cdot {\mathrm{△}}_{x}u=h(x,t),& u:{ℝ}^n\times {ℝ}_{+}\to ℝ,x\in {ℝ}^n,t\in {ℝ}_{+}\\ u(x,0)=0,\\ \frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=0,\end{array}$

Równanie to można rozwiązać metodą całek Duhamela. Wynikiem jest:

$4\pi c^{2}u(x,t)=\underset{0}{\overset{ct}{\int }}\mathrm{d}r\underset{S^2(x,r)}{\int }h(z,t-\frac{r}{c})\mathrm{d}\sigma (z).$

Zaburzenia fali rozchodzą się więc po 4-wymiarowym stożku $|z-x|=ct.$

Zasada Huygensa

Zasada Huygensa opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przykładzie $n=3$ oraz $n=2.$

Załóżmy, że funkcje f, g mają zwarte nośniki $K\subseteq {ℝ}^n.$

Niech $n=3.$ Ze wzoru Kirchhoffa wynika wówczas, że $u(x,t)\ne 0$ tylko w pewnym skończonym czasie $t\in [t_1,t_2].$ Zatem falę, np. dźwiękową, zgodnie z doświadczeniem, słychać od pewnego momentu, przez skończony czas.

Inaczej dzieje się dla $n=2.$ Ze wzoru Poissona wynika, iż fala zaczyna brzmieć i nigdy nie przestaje, choć jej amplituda maleje jak $\frac{1}{t}.$

Radiacyjna strzałka czasu

Równanie falowe opisuje fale zarówno wychodzące ze źródła (opóźnione), jak i wchodzące do źródła (przyspieszone). Mimo to obserwuje się tylko te pierwsze. Tę asymetrię nazywa się radiacyjną strzałką czasu. Najbardziej fundamentalną teorią, w której występuje równanie falowe i ten efekt, jest elektrodynamika klasyczna. Z tego względu mówi się też o elektromagnetycznej strzałce czasuSzablon:Odn.

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa.
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Jacek Ciborowski, Krzysztof Turzyński, Kamerton i struna