Funkcje eliptyczne Weierstrassa

Podstawową dziedziną funkcji eliptycznej jest równoległobok okresowości zawarty w jej siatce okresowej.

Funkcje eliptyczne Weierstrassa (funkcje $\mathrm{\wp }$) to ważna klasa funkcji eliptycznych, które mają fundamentalne znaczenie w wielu obszarach matematyki, takich jak geometria algebraiczna, teoria liczb i teoria równań różniczkowych. Funkcje te są zdefiniowane jako podwójnie okresowe funkcje zespolone, co oznacza, że są okresowe względem dwóch niezależnych kierunków na płaszczyźnie zespolonej. Funkcje tej klasy nazywa się także $\mathrm{\wp }$-funkcjami, gdzie symbol $\mathrm{\wp }$ jest wyjątkowo fantazyjną literą p.

Funkcje te zostały wprowadzone przez Karla Weierstrassa.

Definicja funkcji eliptycznej Weierstrassa

Równoległobok, którego przeciwległe boki są zidentyfikowane

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\mathrm{\wp }(z)$ jest zdefiniowana przy użyciu rozkładu na ułamki proste za pomocą sumy nieskończonejSzablon:Odn:

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}}(\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^2})$

gdzie:

• $z$ to zmienna zespolona
• ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$ to dwie ustalone liczby zespolone takie że $\text{Im}(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1})>0$; nadają funkcji dwa niezależne okresy
• $\mathrm{\Lambda }$ to kratka (ang. lattice), czyli zbiór punktów postaci $\omega =m{\omega }_1+n{\omega }_2$, gdzie $m,n\in ℂ$ (są to liczby całkowite)

czyli sumowanie przebiega po wszystkich parach liczb całkowitych $m,n\in ℂ$ z wyjątkiem punktu $(0,0)$.

Własności p-funkcji

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\mathrm{\wp }$ z widocznymi periodycznymi zmianami i siecią $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}+e^{2\pi i/6}\mathbb{Z}$. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(1) Parzystość (podwójna): $\mathrm{\wp }(-z)=\mathrm{\wp }(z)$Szablon:Odn

(2) Podwójna okresowość: Funkcja $\mathrm{\wp }(z)$ ma dwa niezależne okresy ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$, co oznacza, żeSzablon:Odn:

$\mathrm{\wp }(z+{\omega }_1)=\mathrm{\wp }(z)$

$\mathrm{\wp }(z+{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(z)$

dla dowolnych liczb zespolonych $z$.

(3) BiegunySzablon:Odn: Funkcja $\mathrm{\wp }(z)$ ma bieguny rzędu 2 w punkcie $z=0$ oraz w punktach przesuniętych o okresy (tj. dla $z=m{\omega }_1+n{\omega }_2$).

Funkcja ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ - pochodna funkcji $\mathrm{\wp }$ - ma identyczną periodyczność. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(4) Równanie różniczkowe: Funkcja $w=\mathrm{\wp }(z)$ spełnia równanie różniczkoweSzablon:Odn:

$(\frac{dw}{dz}{)}^2=4w^3-g_{2}w-g_3=4(w-e_1)(w-e_2)(w-e_3)$

gdzie:

• $e_1=\mathrm{\wp }\left(\frac{w_1}{2}\right),$$e_2=\mathrm{\wp }\left(\frac{w_1+w_2}{2}\right),$$e_3=\mathrm{\wp }\left(\frac{w_2}{2}\right)$
• $e_1+e_2+e_3=0,$$e_1{e}_2+e_1{e}_3+e_2{e}_3=-\frac{1}{4}{g}_2,$$e_1{e}_2{e}_3=\frac{1}{4}{g}_3$

Parametry $g_2$ i $g_3$ zależą od okresów ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$; nazywa się je niezmiennikami Weierstrassa. Słuszna jest zależność

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=m^2\mathrm{\wp }(mz;\frac{g_2}{m^4},\frac{g_3}{m^6})$gdzie $m^2=\frac{g_3}{g_2}$

Rozwinięcia w szeregi

Wizualizacja funkcji $\mathrm{\wp }$ z niezmiennikami $g_2=1+i$ oraz$g_3=2-3i$. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

Funkcja Weierstrassa $\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$ można dla $0<|z|<\min ({\omega }_1,{\omega }_2)$ przedstawić w postaci szeregów zależnych od ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$Szablon:Odn

$\mathrm{\wp }(z,{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\frac{g_2}{20}{z}^2+\frac{g_3}{28}{z}^4+\frac{g_2^2}{1200}{z}^6+\frac{3g_2{g}_3}{6160}{z}^8+\cdots$$=\frac{1}{z^2}+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^{2k-2}$

gdzie:

• $a_2=g_2/20,$$a_3=g_3/28$, $a_k=\frac{3}{(k-3)(2k+1)}(a_2{a}_{k-2}+a_3{a}_{k-3}+\cdots +a_{k-2}{a}_2)$ dla $k\ge 4$
• $g_2({\omega }_1,{\omega }_2)=60\sum _{m,n,m^2+n^2\ne 0}\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^4}=\left(\frac{2\pi }{{\omega }_2}{)}^4\right(\frac{1}{12}+20\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^5{q}^{2k}}{1-q^{2k}})$
• $g_3({\omega }_1,{\omega }_2)=140\sum _{m,n,m^2+n^2\ne 0}\frac{1}{(m{\omega }_1+n{\omega }_2{)}^6}=\left(\frac{2\pi }{{\omega }_2}{)}^6\right(\frac{1}{216}-\frac{7}{3}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^5{q}^{2k}}{1-q^{2k}})$
  • gdzie $q=e^{i\pi {\omega }_1/{\omega }_2}$

Funkcja odwrotna do p-funkcji

Funkcją odwrotną do funkcji Weierstrassa jest całka eliptyczna Weierstrassa pierwszego rodzaju, o parametrach $g_2,g_3$, dana wzorem

$z(w;g_2,g_3)=\underset{w}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-g_{2}t-g_3}}$

Przy tym punkty $w=e_1,e_2,e_3$ oraz $w=\mathrm{\infty }$ są punktami rozgałęzienia tej funkcji odwrotnej.

Inne funkcje powiązane z p-funkcją:

• Pochodna funkcji Weierstrassa: ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$, która jest również funkcją eliptyczną, ale ma biegun rzędu 3 w punkcie $z=0$.
• Niezmienniki: $g_2$ i $g_3$ są stałymi zależnymi od okresów kratki i pełnią ważną rolę w analizie funkcji eliptycznych.

Twierdzenie (o tworzeniu funkcji eliptycznych)

Tw. Każda funkcja eliptyczna $f(z)$ o okresach ${\omega }_1$ i ${\omega }_2$ może być utworzona z funkcji $\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$oraz ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$ w postaciSzablon:Odn

$f(z)=R_1[\mathrm{\wp }(z)]+{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)R_2[\mathrm{\wp }(z)]$

gdzie $R_1,R_2$ są funkcjami wymiernymi, a funkcja ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ jest funkcją eliptyczną nieparzystą rzędu 3

Powiązanie z krzywymi eliptycznymi

Funkcja $\mathrm{\wp }(z)$ jest związana z krzywymi eliptycznymi. Równanie różniczkowe dla $\mathrm{\wp }(z)$ można traktować jako równanie krzywej eliptycznej w postaci:

$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$

Tutaj $\mathrm{\wp }(z)$ odgrywa rolę zmiennej $x$, a ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$ odpowiada $y$.

Zastosowania funkcji eliptycznych Weierstrassa

• w teorii krzywych eliptycznych i geometrii algebraicznej.
• w teorii równań różniczkowych (szczególnie w rozwiązaniach równań nieliniowych, takich jak równanie Kortewega–de Vriesa).
• w matematyce teoretycznej, np. w teorii liczb i analizie zespolonej.

Zobacz też

• funkcje eliptyczne
• funkcje eliptyczne Jacobiego
• całki eliptyczne

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Funkcja eliptycznych Weierstrassa na WolframAlpha