Ułamki proste

Szablon:Dopracować Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:

• mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
• licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.

Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.

Możliwe postaci ułamka prostego

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych:

1. $\frac{b}{(x-a{)}^n},n⩾1$
2. $\frac{ex+f}{(a{x}^2+bx+c{)}^n},n⩾1,b^2-4ac<0$

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych

1. $\frac{b}{(x-a{)}^n},n⩾1$

Przykłady rozkładu

• $\frac{f(x)}{(x-a{)}^3}=\frac{A}{(x-a)}+\frac{B}{(x-a{)}^2}+\frac{C}{(x-a{)}^3},$ tutaj $\mathrm{deg}(f)<3;$
• $\frac{f(s)}{(s+3)(s+1{)}^4}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1{)}^2}+\frac{C}{(s+1{)}^3}+\frac{D}{(s+1{)}^4}+\frac{E}{(s+3)},$ tutaj $\mathrm{deg}(f)<5;$
• $\frac{1}{(s^2+1)(s+1{)}^2}=\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{C}{(s+1{)}^2}+\frac{D}{s+1}$

Aby znaleźć współczynniki $A,B,C,D,\dots$ stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian

$(A+D)s^3+(2A+B+C+D)s^2+(A+2B+D)s+(B+C+D)$

Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej $s$ do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników $A,B,C,D.$

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:

• Rozkład na ułamki proste cz. 1, 26 czerwca 2013.
• Rozkład na ułamki proste cz. 2, 26 czerwca 2013.
• Rozkład na ułamki proste cz. 3, 26 czerwca 2013.
• Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste, 31 maja 2015.