Liczby jedynkowe

Liczba jedynkowa^[1] (ang. repunit^[2]) – w rekreacyjnej teorii liczb, liczba naturalna, której zapis dziesiętny składa się z samych jedynek^[1]^[3]. Liczby jedynkowe spopularyzował (oraz wprowadził angielską nazwę repunit) Albert Beiler w książce Recreations in the Theory of Numbers^[2]. Początkowe liczby jedynkowe to

1, 11, 111, 1111, 11111, 111111 Szablon:OEIS.

Alternatywnie $n$ -tą liczbę jedynkową $R_{n}$ można zdefiniować jako sumę $n$ początkowych potęg dziesiątki^[3]: Szablon:Wzór

Kwadratem $n$ -tej liczby jedynkowej jest $n$ -ta liczba Demlo Szablon:OEIS^[3].

Własności^[1]

Liczba $R_{m}$ jest dzielnikiem liczby $R_{n}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m ∣ n$ .
Największym wspólnym dzielnikiem liczb $R_{m}$ i $R_{n}$ jest $R_{d}$ , gdzie $d = NWD (m, n)$ . Liczby $R_{m}$ i $R_{n}$ są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy względnie pierwsze są liczby $m$ i $n$ .
Jeśli $R_{n}$ jest liczbą pierwszą, to $n$ również. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Kontrprzykład stanowi m.in. $111 = 3 \cdot 37$ .
Liczba pierwsza $p > 5$ jest dzielnikiem liczby $R_{p - 1}$ . Jest to wniosek z małego twierdzenia Fermata.
Każda liczba naturalna niepodzielna przez 2 i przez 5 ma wielokrotność będącą liczbą jedynkową.
Nie wiadomo, czy liczba jedynkowa może być $n$ -tą potęgą liczby naturalnej dla $n > 1$ . Udowodniono, że to niemożliwe dla $n = 2, 3, 4, 5$ . Problem dla $n > 5$ pozostaje nierozstrzygnięty.

Liczby pierwsze jedynkowe

Znajdowanie dużych liczb pierwszych jedynkowych, podobnie jak faktoryzacja dużych liczb jedynkowych, nie jest proste. Pomocne bywają metody podobne do tych stosowanych dla liczb Mersenne’a^[2]. Początkowe liczby pierwsze jedynkowe to

R_{2}

,

R_{19}

,

R_{23}

,

R_{317}

,

R_{1031}

,

R_{49081}

Szablon:OEIS.

W 1998 roku Torbjörn Granlund sprawdził komputerowo wszystkie liczby $R_{n}$ dla $n \leq 45000$ w poszukiwaniu liczb prawdopodobnie pierwszych. Obliczenia zajęły łącznie dwa miesiące czasu procesora. Poszukiwania rozszerzył w 1999 roku Dubner, znajdując prawdopodobnie pierwszą liczbę $R_{49081}$ . Od tego czasu poznano co najmniej pięć nowych prawdopodobnie pierwszych liczb jedynkowych^[4].

Do 2022 roku liczba $R_{1031}$ była największą liczbą jedynkową, o której było wiadomo, że na pewno jest pierwsza (dowód przeprowadzili Williams i Dubner w 1986 roku)^[4]. W 2022 roku Paul Underwood, wykorzystując test pierwszości oparty na krzywych eliptycznych, wykazał, że liczba $R_{49081}$ jest pierwsza. Wygenerowanie certyfikatu pierwszości wymagało 20 miesięcy obliczeń na 64-rdzeniowym procesorze AMD 3990x, a sama jego weryfikacja – 13 godzin^[4]^[5].