Wzór sumacyjny Abela

Wzór sumacyjny Abela (także: sumowanie przez części Abela) – tożsamość wykorzystywana w analitycznej teorii liczb. Swoją nazwę nosi po nazwisku Nielsa Henrika Abela.

Treść

Niech $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Oznaczmy

$A(t)=\sum _{0⩽n⩽t}{a}_n.$

Ponadto, niech $f:[x,y]\to ℂ$ będzie ciągłą funkcją całkowalną dla liczb rzeczywistych $y>x⩾0.$ Wówczas zachodzi równość

$\sum _{x<n⩽y}{a}_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\underset{x}{\overset{y}{\int }}A(t)f^{\prime }(t)dt.$

Wzór można udowodnić, stosując całkowanie przez części całki Riemanna-Stieltjesa funkcji $A$ i $f.$