Pierścień kwadratowy

Pierścień kwadratowy – pierścień, którego elementami są liczby zespolone postaci $x+y\sqrt{D},$ gdzie $x,y$ są liczbami wymiernymi, a $D$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą (niepodzielną przez kwadrat liczby całkowitej). Każda, niekwadratowa liczba całkowita $D$ wyznacza jeden pierścień kwadratowy.

Definicja

Zbór wszystkich liczb postaci $x+y\sqrt{D}$ dla ustalonego $D$ i dowolnych $x,y\in \mathbb{Q}$ oznaczamy przez $\mathbb{Q}(\sqrt{D}).$

Jeżeli $D$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą to niech

$\omega =\{\begin{array}{cc}\sqrt{D},& \text{gdy }D\equiv \text{ 2,3 (mod 4) }\\ \frac{1+\sqrt{D}}{2},& \text{gdy }D\equiv \text{1 (mod 4)}\end{array}$

i $\mathbb{Z}[\omega ]=\{x+\omega y:x,y\in \mathbb{Z}\}.$ Wtedy podzbiór zbioru $\mathbb{Z}[\omega ]\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ nazywamy pierścieniem kwadratowym i zwykle oznaczamy przez ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{D})}.$

Jeśli $D>0$ to nazywamy go rzeczywistym pierścieniem kwadratowym, a jeśli $D<0$ to urojonym pierścieniem kwadratowym.

Przykłady

• Pierścień liczb całkowitych Gaussa: ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-1})}=\mathbb{Z}[-1].$ Jest przykładem pierścienia kwadratowego, który jest dziedziną ideałów głównych, wszystkie jego elementy są jednoznacznie rozkładalne na czynniki (można stosować algorytm Euklidesa).
• Pierścień liczb całkowitych Eisensteina: ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right].$
• Pierścień Dedekinda: ${𝒪}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-5})}=\mathbb{Z}[-5],$ który nie jest dziedziną ideałów głównych, ale istnieją w nim ideały niegłówne oraz nie ma w nim jednoznaczności rozkładu na czynniki.
• Elementami pierścieni kwadratowych są rozwiązania równania Pella: $X^2-D{Y}^2=1.$

Bibliografia

• Adam Neugebauer, Algebra i teoria liczb, wydanie VII, grudzień 2013, Szablon:ISBN.
• J.S. Milne, Algebraic Number Theory, wersja 3.01, 28 września 2008.